《全等三角形》教学初探
时间：2021-01-30 10:03:00 来源：达达文档网 本文已影响 人 
张家玉
摘要：《全等三角形》是初中几何的重要内容之一，也是学习几何入门最关键的一步。在教学中，我们让学生体会证明的必要性。本章是培养学生的逻辑思维，提升学生推理能力的重要一章。让学生学会用演绎推理的方法研究图形的属性，证明几何命题，并将学生推理能力的培养贯穿于整个数学学习的过程中。
关键词：全等三角形;命题;定理;证明
《全等三角形》是初中几何的重要内容之一，也是学习几何入门最关键的一步，是在七年级对《图形与图形变换》的认识及《数学说理与推理》的基础上展开教学内容，《全等三角形》 是最基本的全等图形，是对应边、对应角都分别相等的三角形。本章首先通过一些具体事例，使学生再次加深对证明的必要性的认识;随即通过自主探索、实验操作，得到判定三角形全等的三个基本事实，并在原有数学说理的基础上，学习一些有关演绎推理的知识，掌握一些主要的推理论证的方法，使学生进步养成言必有据的思维习惯，这些都为本章《等腰三角形》、《线段垂直平分线与角平分线》等内容的学习，也为后续平行四边形、图形的相似与圆等各章内容的学习，实现合情推理与演绎推理的有机结合提供了重要依据，还为学生运用动态的变换方法研究静态的几何图形积累了一定的数学活动经验。
本章学习要达成以下教学目标：1.通过具体实例，了解命题、 定理的意义。2.知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，会正确书写证明的格式。3.探索并掌握三个基本事实。4.证明定理：两角分到相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。5.了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理。探索等边三角形的性质定理。6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边直角边”定理。7.能用尺规完成四类基本作图。8.会利用基本作图作三角形。9.了解原命題及其逆命题的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题正确其逆命题不一定正确。10.理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理。11.探索并证明角平分线的性质定理。
本章是培养学生的逻辑思维，提升学生推理能力的重要一章。让学生学会用演绎推理的方法研究图形的属性。证明几何命题，要求学生在证明中能将合情推理与演绎推理有机结合，并将学生推理能力的培养贯穿于整个数学学习的过程中。
第一小节“命题定理与证明”中列举了已经学过的4个图形的特性，指出它们都是判断某一件事情的语句，像这样表示判断的语句叫做命题，命题可能是真命题，也可能是假命题，要判断一个命题是真命题，可以通过演绎推理论证，要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。在教学中，我们要让学生体会证明的必要性，教材通过三个不同的案例，让学生理解：由特殊事例得到的结论可能正确，也可能不正确，因此通过这种方式得到的结论，还需进一步 加以证实。从而， 引出了“证明”的概念：根据条件、定义以及基本事实定理等，经过演绎推理，来判断个命题是否正确。这样的推理过程叫做证明。在教学时必须引起学生的关注，指出：“言必有据”，每步推理都要有依据，它们可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、已经学过的定理以及等式的性质、等量代换等在书写证明的过程中，要求把依据写在每一步推理后面的括号内。
第二小节《三角形全等的判定》是本章的重点内容。首先回顾了全等三角形的定义以及对应顶点、对应边与对应角的概念，通过说明两个三角形的三条边、两个角分别对应相等，则这两个三角形必然是全等三角形。使学生确信三角形全等的判定条件是可以减少的，随即从最简单的情况开始，让学生自主讨论，分别就一组、两组、三组元素分别对应相等的情况，探索三角形全等的判定条件，为学生提供了自主探索、实验操作的活动空间。教材对于“边角边”、“ 角边角”与“边边边”三种情况的讨论，直至最后得出判定三角形全等的三个基本事实，让学生自己在探索思考、实验操作的过程中得出判定三角形全等的三个基本事实，体会运用动态的变换方法研究静态的几何图形属性的过程，并对“角角边”的情况进行了论证。教材最后让学生自行概括判定三角形全等的各种情况与相应结论。七年级中，演绎证明的过程以学生填空为主，本章- -开始，主要由教材给出示例，让学生就一些较为简单的问题自主写出演绎证明的过程，而某些需要两步论证的问题，则让学生在已有一步论证的基础 上加以补充完整，起到了承上启下、自然衔接的作用，整个演绎推理，例题与练习题的安排均采取逐步深入的原则。教材中，先让学生就些较为简单的问题，直接应用三角形全等的基本事实，证明符合给定条件的两个三角形全等，然后“由三角形全等，延伸至证明两条边或两个角相等，然后再利用等量关系，设法补充齐全三角形全等的条件，由简到难，逐步展开。教材对于 一些结论的证明，有时仅给出思路，教学中我们板书并引导学生自行写出完整的、规范的证明过程。教材还探索了两个直角三角形全等的条件除了“边角边”、“角边角”“角角边”与“边边边”能判定两个直角三角形全等外，还有“斜边直角边”也能判定两个直角三角形全等。但必须明确前提是在直角三角形里。
第三小节“等腰三角形”也是本章的重要内容，通过运动变换，让学生发现等腰三角形的两底角相等，并通过演绎推理，证明其正确性，体现了合情推理与演绎推理的有机结合。在证明等腰三角形的性质定理时，可以通过添加顶角的平分线或添加底边上的中线，证明两个三角形全等。另外，等腰三角形的三线合一定理和等边三角形的性质定理与判定定理是常用的定理，也是我们考试的重点，教学中，可适当补充相应的例题，让学生巩固对这些定理的掌握。
第四小节“尺规作图”对仅用没有刻度的直尺（指直尺本身没有刻度或作图时不利用直尺上的刻度）和圆规作图，及直尺作图，做了系统的总结，使学生对尺规作图有较全面的认识。
尺规作图是本章的难点，教学中要引导学生注意作图过程与做法之间的对应，引导学生只能用尺规完成5种基本作图，并能运用这5种基本作图来作简单的几何图形。
第五小节“逆命题与逆定理”以“两直线平行，内错角相等”“内错角相等。两直线平行”为例，引出互逆命题的概念，并指出：如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫它的逆命题，每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论。并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题，原命题与逆命题是相对的。教材通过运动变换、推理论证得出，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，从互逆命题的角度探索其逆命题是否正确，让学生依据性质。逆向思考与其相反的结论，渗透”逆向思维”，最后加以论证确认，学生必须分清”线段 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上：这两个互逆定理的条件与结论防止条件与结论混涌不清。最后，教材上对三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一交 点称为三角形的外心，即三角形外接圆的圆心，在此，为以后学习外心的有关特性做了铺垫。教材使用类似的方法得出角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等然后从互逆命题的角度探索其逆命题是否正确，并加以论证确认。可以与线段垂直平分线的教学方法作类比，渗透”类比”的思想方法。
（作者单位：四川省宜宾市第二初级中学校）
