大学,高等数学,历年考题

一。偏导数的几何应用 1. [2012] 求曲面在点处的切平面和法线方程 解 令，则 从而切点的法向量为 从而切平面为 法线方程为 3、[07]曲线在点的切线方程为. 4.[07]（化工类做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面与平面平行。

解：曲面的法向量应与平面平面的法向量平行， 从而有，由于切点在曲面上 因此切平面为 5.[2006]已知直线和平面则（ B ）
A、在内 B、与平行，但不在内 C、与垂直 D、不与垂直，不与平行 6.[2006]曲面在点处的法线方程是 7. [2006]（化工类做）
已知直线和，证明：，并求由所确定的平面方程。

证明：直线上任取两点，则是的方向向量；
的一个方向向量为，因为，所以 设所确定的平面方程为，它经过点和点，所以 所求方程为 二。多元函数 1. 【2012】设，则 0 2. 【2012】设,则 3. 【2012】 函数在点处沿指向点方向的方向导数 4. 【2012】证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数 解 因为 与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。

又 ， 或 ，或 于是函数在点存在有一阶偏导数。

5.【2012】设, 求 解 令，则 ，于是用公式得 6. [2012] 在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。

解 设点为，则 等价于求在约束之下的最小值。令 且由 解得驻点，最短距离为 （令计算起来更加方便，舍去驻点，）
7.[2011] 8.[2011] 9.【2011】设函数有二阶连续偏导数,求函数的二阶混合偏导数. 10.【2011】求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向的值不变？ 11.【2011】求函数的极值. 12.[2010] 13. [2010] 14. [2010] 15. [2010] 16.[2009] 17.[2009] 18.[2009] 设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。

解：
19.[2009] 求函数在圆域的最大值和最小值。

解：方法一：当时，找驻点 ，得唯一驻点 当时，是条件极值，考虑函数 ，解方程组 可得 所求最大值为，最小值为。

方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。

方法三：圆域可写成 最大值为4，最小值为。

20.[2009] （化工类做）
求由方程组所确定的及的导数及。

21.[2009] （化工类做）
求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？ 22、[2008] 函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的 必要 条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的 充分 条件（填必要、充分或充要）
23、[2008] 设有连续偏导数，则 24、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点 证：令，则 从而曲面在点处的切平面为 ，其中为动点。

显然时成立，故切平面均过。证毕 25、[2008]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数 解：方程组两端对求导，得 把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为 所求方向导数为 26、[2008] 设，求 解：两边取微分，得 从而， 27、[2008] 设，则它有极小值 28、[2008] 设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。

解：令 则，从而 再由即约束条件，可得，从而 由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。

29、[2007] 设，则 30、[2007] 已知，则 0 31、[2007] 函数在点处沿从点到点方向的方向导数是 32、 [2007]设，其中具有二阶连续偏导数，求. 解：
33、[2007]（化工类做）证明函数在原点处可微，但在点处不连续 解：由定义 同理 由于 从而函数在原点处可微。

当 由于不存在，因此在点处由于不存在而不连续。

34、[2007]（化工类做）设是由方程所确定的函数，其中可导，求 解：对方程两边取微分得 即 35、[2007]求在约束条件下的最大值和最小值 解：令 则 由于最值一定存在，所以最大值为3，最小值为 36.[2006] 若在点处可微，则下列结论错误的是（ B ）
A、在点处连续 B、在点处连续 C、在点处存在 D、曲面在点处有切平面 37.[2006] 二重极限值为（ D ）
A、0 B、1 C、 D、不存在 38.[2006] ，则 39.[2006] 函数在点沿方向的方向导数为 40. [2006] 设函数 证明：1）在点处偏导数存在 2）在点处不可微 证明：1）因为 所以在点处偏导数存在 2）因为 当取时 随之不同极限值也不同，即 所以此函数在处不可微。

41. [2006] 设，具有连续二阶偏导数，求 解：
， 42. [2006] 在第一卦限内作椭球面的切平面，使该切平面与三坐标平面所围成的四面体的体积最小，求切点的坐标。

解：设为椭球面上在第一象限的一点，过此点的切平面方程为 化成截距式方程 此切平面与坐标面围成四面体的体积为。（下面我们去掉下标0）
要求满足条件的最小值，只需求满足条件的最大值。

由拉格朗日乘数法，只需求以下函数的驻点 得 由此得，所以 当时，有最小体积，最小体积为。

切点坐标为。

三。二重积分 1. [2012] 设是所围成的区域, 则 2. [2012] 计算二重积分，其中 解 被积函数有 而积分区域关于对称，取 从而 3. [2012]设函数在内有连续的导数，且满足。求 解 用极坐标 两边求导得，标准化为 于是 由得，故 4. [2011] 5. [2011] 交换二次积分的积分次序：
。

6.[2009] 求锥面被柱面割下部分曲面面积。

解：
7. [2009]（化工类做）
计算二重积分，其中为圆域。

8、[2008] 交换二次积分的积分次序 9、[2008] 求球面含在圆柱面内部的那部分面积 解：上半球面的部分为 10、[2007] 计算二重积分.是由所围成的闭区域 解：作图知 11.[2006] 交换积分次序后， 12. [2006] 计算二重积分其中是由抛物线及直线所围成的闭区域。

解：原式 四。三重积分 1. [2012] 设为两球的公共部分，计算三重积分 解 由 当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域， 当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域， 于是分段先二后一积分，得 2.【2011】对于任何不自交的光滑闭曲面上的单位外法向量, 所围成的区域,证明: 3.[2010] 计算三重积分 4.[2009] 计算。

解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则 原式 5、[2008] 计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域 解：由对称性 从而 6、[2007] 计算三重积分，其中.由所确定 解：由交线（舍去）
于是投影区域为，柱坐标下为 7. [2006] 计算三重积分，其中是由柱面及平面围成的闭区域。

解：方法一：利用柱面坐标计算,原式 方法二、截片法,原式 五。曲线积分 1. [2012] 设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分 2. [2012] 计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。

解 由于 补两条直线是逆向的闭曲线，故 原式 或由曲线积分与路径无关，直接得 原式得 或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式 或者由是全微分表达式，凑微分，因 及 得 原式 3. [2011] 4.【2011】计算 5.[2011] 6. [2010] 7. [2010] 计算 8.[2010] (化工类做)计算 9. [2009] 10.[2009] 计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。

解：在的内部作圆并取逆时针方向， 的参数方程为 由格林公式有 11、[2008] 计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。

解：由于， 从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关 取路径， 12、[2007] 设为取逆时针方向的圆周，则曲线积分 13、[2007]设L为直线上由点到点之间的一段，则曲线积分. 14.[2006] 曲线为原点到点的直线段，则曲线积分的值等于 15. [2006] 计算，其中为从点沿椭圆到点的一段。

解：原式 16. [2006] 设曲线积分与路径无关，其中连续可导，且，计算。

解：， 由得，所以 六。曲面积分 1. [2012] 计算曲面积分 ，式中是上半球面的上侧. 解 补一个平面，取下侧，则原式 另法（看看: 归一化，多次换元够烦的）
即，上半球面指向上侧法线为，从而 , 原式= 2. [2012] 求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。

解 记为在部分的面积， 或者 3.【2011】计算 4.【2011】计算曲面积分 5.[2010] 计算 6.[2010] 计算曲面积分 7. [2009] 向量场的散度为。

8.[2009] 计算曲面积分，其中是半球面的上则。

解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得 原式 9、[2008] 向量场的散度为. 向量场的旋度为. 10、[2008] 设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分 0 ， 11、[2008]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧 解：取上侧 则原式 12、[2007] 计算，其中为半球的上侧 解：令取下侧。则为半球体的外侧，由高斯公式 原式 （用对称性可以简化计算）
13、[2007] 计算，其中为抛物面 解：，投影区域为 由对称性，原式 14.[2006]已知曲面的方程为，则（ B ）
A、 B、 C、1 D、 分析：
15. [2006]计算，其中为旋转抛物面的上侧。

解：方法一、利用两类曲面积分的联系 对应侧的法向量为 原式= 方法二、利用高斯公式，补充曲面并取下侧 原式 七。微分方程 1. [2012] 求定解问题的解 解 标准化 ，由标准方程的解的公式，得 由初值条件，有，于是特解为 2. [2012] 求微分方程的通解 解 对应的齐次方程为，解得特征根 非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而， ，代入原来的微分方程，得 即 于是根据解的结构定理得，所求通解为 3. [2012] 设函数在内有连续的导数，且满足。求 解 用极坐标 两边求导得，标准化为 于是 由得，故 4.【2011】求微分方程的通解. 5. [2011] 6.【2011】(化工类做)求微分方程 的通解. 7. [2010] 8. [2010] 9. [2010] 10 .[2010] (化工类做)求微分方程 11.[2010] (化工类做) 12.[2009] 求如下初值问题的解 解：此为可降阶微分方程第三种类型。

设，则，原方程化为 变量分离两边积分得 由可得 解可得， 由可得 所求解为：。

13.[2009] 求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以 的通解为 因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得 原方程通解为 14、[2008] 求微分方程的通解 解：， ， 15、[2008] 计算满足下述方程的可导函数， 解：原方程两端求导得 即，这是标准的一阶线性微分方程 原方程令得，代入通解得，从而 16、 [2008]（化工类做）求解初值问题 解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为， 特征根为，从而对应通解为 容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为 从而，由初值条件可得。

因此 17、[2007] 求微分方程的通解. 解：原式可以化为一阶线性微分方程 由公式 18、[2007] 设具有二阶连续导数，，且是全微分方程，求其此全微分方程的通解。

解：由全微分方程的条件知 有特解有形式，代入原方程得 从而通解 由初值条件 因此 原方程即为 即 19.[2006] 用待定系数法求微分方程的一个特解时，应设特解的形式（ B ）
A、 B、 C、 D、 20. [2006] 设是微分方程的一个解，求此微分方程的通解。

解：因为，原方程为 这是一个一阶线性微分方程，其通解为 八。级数 1. [2012] 判别无穷级数的收敛性。

解 由于，故 而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。

2. [2012] 求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

解 比较标准幂级数，得 ， 从而收敛半径为，收敛区间为 当时幂级数化为正项级数， 由于，从而与调和级数一样发散；
当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。

3. [2012] 将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。

解 利用， 从而 4.【2011】(非化工类做) 5.【2011】(非化工类做) 6.【2011】(非化工类做) 7.[2010] (非化工类做) 8.[2010] (非化工类做) 9.[2010] (非化工类做) 10.[2009] （非化工类做）
证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；
如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。

11.[2009] （非化工类做）
将函数展成余弦级数。

12.[2009] （非化工类做）
求幂级数的收敛半径和收敛域。

13. [2008] 设且，试根据的值判定级数的敛散性。

14. [2008] 设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将展开成傅里叶级数。

15. [2008] 设，证明满足微分方程，并求。

16. [2007]（非化工类做）
求幂级数的收敛域及其和函数。

17、[2007]（非化工类做）
将函数展成的幂级数。

18、[2007]（非化工类做）
证明:在区间上等式