紧扣核心知识，精准指导备考

温红春 农学宁

【摘要】本文以中考备考专题复习“一次函数的应用”教学为例，阐述以广西特级教师戴启猛提出的“四度六步”教学法为主体框架设计中考复习课的途径，以期让中考备考复习更精准高效。

【关键词】“四度六步”教学法 应用题 中考备考

一次函数的应用

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）25-0139-05

中考数学专题复习课是初中备考中常见的课型，是毕业班教师和学生都要经历的一个备考环节。“如何让中考备考的复习精准高效”是大多数毕业班教师课堂教学中面临的一大问题。本文笔者以中考应用类问题的课例研究为基础，对中考备考的教学模式和主要难点的突破方法进行探讨。

一、“四度六步”教学法简述

“四度六步”教学法是广西特级教师戴启猛依据多年的课堂教学实践总结出的一套创造更加精彩数学课堂教学法。这套教学法以追求有温度、梯度、深度、宽度课堂为目标，通过“温故”——复习提问、温故孕新，“引新”——创设情境、引入课题，“探究”——合作探究、活动领悟，“变式”——师生互动、变式深化，“尝试”——尝试练习、巩固提高，“提升”——适时小结、兴趣延伸这六步教学环节来完成有效教学。本节课例虽为中考备考复习课，但也是以这个教学法为主体框架进行设计的，取得了较好的实践效果。

二、教学过程精要记录

（一）“温故”——复习提问、温故孕新

1.知识温故

师：一次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，其建模和知识结构可以通过以下框图体现。

设计意图：回顾一次函数的核心知识，梳理函数模型解决实际问题的过程。

2.例题温故：回顾课本一次函数的应用——19.3课题学习 选择方案

提问：这两道题的题目背景是什么？

师生活动1：学生回顾课本，问题1是上网收费问题，问题2是租车问题。

追问：题目是如何考查一次函数的？

师生活动2：根据题目所给条件，列出一次函数解析式，通过数形结合，观察一次函数的图象，利用一次函数的性质解决实际问题。

设计意图：进一步回顾课本中的重点例题，回想解决这类问题的方法，引起学生对课本内容的重视，也为后续的“引新”铺垫，从课本题到中考题，让学生体会这一过程的考查梯度的变化。

（二）“引新”——创设情境、引入课题

教师带领学生聚焦中考，回顾近5年中考实际问题的考法及知识点。

2015年：面积造价问题;考查的形式是代数式+一元二次方程+一次函数;

2016年：工程问题;考查形式是分式方程+一次函数+反比例函数;

2017年：图书借阅增长率问题;考查形式是一元二次方程 +一元一次不等式;

2018年：货物运费问题;考查形式是二元一次方程組+一次函数;

2019年：购物配套问题;考查形式是分式方程+一元一次方程、代数式+一次函数。

师：比较发现，2015年至2019年中考中有四年考查了一次函数的内容，一次函数是中考应用题中的高频考查知识点。结合对课本例题和中考题的分析，你获得怎样的启发？现在我们一起进行专题复习——实际问题与一次函数。

设计意图：通过呈现中考题型，梳理和对比这几年中考实际问题的考查形式，让学生了解到一次函数是中考应用题考查的“核心知识”，从而引出本节课的学习内容。

（三）“探究”——合作探究、活动领悟

探究题：某商店销售一部A型手机比销售一部B型手机获得的利润多50元，销售相同数量A型手机和B型手机获得的利润分别为3000元和2000元。

（1）求每部A型手机和B型手机的销售利润分别为多少元？

（2）该商店计划一次购进两种型号的手机共110部，其中A型手机的进货量不超过B型手机进货量的2倍。设购进B型手机n（n<110）部，这110部手机的销售总利润为w元。

①求w关于n的函数解析式;

②该商店购进A型、B型手机各多少部时，才能使销售总利润最大？

1.探索审题方法，解决题目第（1）问

师生活动1：第一遍审题。通过读题，了解题目背景，该题属于销售利润问题。

师生活动2：第二遍审题。寻找题目数量，透过数量提炼出题目涉及的量，并寻找等量关系。

①“50元”：一部A型手机比一部B型手机多获得的利润，涉及的量是“单件销售利润”;

②“销售相同数量”：销售数量相同，涉及的量是“销售数量”;

③“3000元和2000元”：A型手机和B型手机获得的利润，涉及的量是“总利润”。

师（提问）：这三个量之间的关系是什么？

师生活动3：探究得出数量关系，单件销售利润×销售数量=总利润。

师生活动4：通过列表整理题目已知数据。

师（追问）：根据表格知道单件销售利润和销售数量是未知的量，那么设其中哪个量为未知数呢？

师生活动5：学生独立思考，得出两种方法都可以，教师引导学生完成上述表格，让学生体验将文字语言转化为数学符号语言的过程。

方法一：直接法，设每部B型手机利润为x元，完善表格。

列出等量关系式：[3000/x+50]=[2000/x]。

方法二：间接法，设销售A型手机数量为x部，完善表格。

列出等量关系式：[3000/x]=[2000/x]+50。

师生活动6：教师引导学生进行第三遍审题，检查题目数量和数量关系，确定解题思路，之后学生自行解题，教师总结。

设计意图：中考实际问题是综合性问题的呈现，一般都不是单一的问题，本问设计的目的在于引导学生寻找等量关系，为解决后面问题列式用到的数量关系铺垫，以及让学生掌握审题方法。

2.构建函数模型，解决题目第（2）问

师生活动1：学生独立思考，讨论分析题目中涉及的量，并将题目的文字语言转化为数学符号语言。

①表示出A型手机数量为110-n;

②分析数量关系：题目总利润w=A型手机总利润+B型手机总利润，其中A型手机总利润=每部A型手机利润×A型手机销售数量;类比可以得出B型手机总利润;

③将关系式转化为符号语言：w=150（110-n）+100n=-50n+16500。

师（提问）：w是什么函数模型？

师（追问）：如何求函数w的最大值？

師生活动2：分析求一次函数w的最大值需要知道自变量n的取值范围，教师指导学生将文字语言转化为数学符号语言，把握关键词“不超过”，求解出自变量的范围。

师生活动3：教师引导学生画出函数图象草图，利用一次函数图象分析函数的性质，求解题目。

设计意图：引导学生分析题意，先是利用未知数表示题目涉及的量，再通过精细分析等量关系，列出函数解析式，最后观察函数模型，利用对应函数的性质解题，强化函数类型的解题模型。

3.答题小结，注重书写规范

师生活动：学生分享答题过程中需要注意的细节，不足之处教师补充。

解：（1）设每部B型手机利润为x元，列式得……（写完整设什么量为未知数及其单位）

[3000/x+50]=[2000/x]……（所列方程等式两边的量要具有实际意义，例如左边代表A型手机数量，不能列成[x+50/3000]）

方程两边同乘x（x+50），化简得

3000x=2000（x+50）

解得 x=100

检验：当x=100时，x（x+50）≠0……（1.检验是否是方程的解、是否符合实际意义;2.检验格式要规范）

所以x=100是原分式方程的解

每部A型手机利润：100+50=150（元）

答：每部A型手机利润为150元，每部B型手机利润为100元。……（答题要完整）

（2）①由题意知，购进B型手机n部，则A型手机（110-n）部

w=150（110-n）+100n……（列出“原”式子，并简化）

=-50n+16500

②由题意知：110-n≤2n 解得n≥36[23]

∵n为整数 ∴37≤n<110……（注意自变量的实际取值）

∵-50<0，

∴w随n的增大而减小……（函数性质要书写规范）

∴当n=37时，w有最大值

此时，A型手机有110-37=73（部）

答：当A型手机购进73部，B型手机购进37部时，销售总利润最大。

设计意图：在答题过程中，许多学生会解题，但是因为书写不规范或者表达不到位被扣分。教师结合中考改卷要点强调答题规范的重要性，避免学生被扣分。

（四）“变式”——师生互动、变式深化

变式：若在实际进货时，厂家对B型手机出厂价下调m（30

1.变式提升，分析变化量

师（提问）：题目中涉及了一个新的量——“出厂价”，什么是出厂价？

师生活动1：学生结合生活经验理解“出厂价”，对于厂家来说是出厂价，那么对于商店来说这个就是进货价，是同一个数量。

师（追问1）：出厂价下降m元，对于商家来说，利润出现了什么变化？

师生活动2：分析数量关系

得出结论：商店销售每部B型手机的利润增加了m元。

类比例题得出：w=150（110-n）+100n+mn=-50n+16500+mn。

师（追问2）：函数中涉及m与n，那么w是什么类型的函数？

师生活动3：分析题目的问题部分，自变量仍是n，它的指数是1，所以w是一次函数，可以化简为w=（m-50）n+16500。

师（追问3）：此时，函数w的最大值受什么因素影响？

师生活动4：探究一次函数性质，w受到自变量n的范围及比例系数（m-50）的影响，对（m-50）分类讨论，引导学生分类不重不漏。

学生活动：学生自行完成剩下的解题。

设计意图：题目变式引入一个参数，增加题目难度，这个参数会让学生混淆。所列的函数解析式是什么类型的模型？学生通过交流讨论，结合已学的知识，辨析出函数类型，从而利用函数性质解题，在这过程中体会将“新知”转化为“旧知”，以及强化函数型问题的解题思路。

2.小结核心思路及解题步骤

①解题步骤：审、设、列、解、答;

注意审题三步骤：第一步，了解题目背景，联系生活实际;第二步，找等量关系，转化语言;第三步，探解决办法，核对所求数量和数量关系。

②判断函数解析式的类型，数形结合观察函数图象，并分析函数性质，进行解题。

设计意图：通过探究例题和变式，适时小结解题步骤，引导学生反思解题。

（五）“尝试”——尝试练习、巩固提高

练习（19年北部湾一模）：广西“稻鱼综合养殖”符合生态养殖，绿色发展。某稻鱼综合养殖户计划购买甲、乙两种禾花鱼鱼苗，经调查，得到以下信息：

如果购买甲鱼苗10kg和乙鱼苗5kg需700元，如果购买甲鱼苗20kg和的乙鱼苗15kg需1600元。

（1）甲鱼苗和乙鱼苗的单价各是多少元？

（2）现决定购买甲、乙两种鱼苗共90kg，其中，乙鱼苗的重量不大于甲鱼苗重量的2倍，设购买甲鱼苗akg（a≤50），求该养殖户购买这批鱼苗的总费用W与a之间的函数解析式;

（3）在（2）的条件下，请设计一种购买方案，使所需总费用最低，并求出最低费用。

学生活动：学生独立完成练习。

师生活动1：教师点评部分学生答题情况。

第一类：自变量求解错误。

建议：一次函数的最大最小值由自变量取值范围确定，认真将题目中涉及的自变量取值的内容勾画出来，并翻译成数学语言。

第二类：辨析不清函数形式。

建议：对分段函数加以区分，辨析题目所求的函数是同一个事物的量还是不同事物的量，如果是同一事物，則是分段函数，可以通过分段的最值进行比较。

第三类：混淆分量之间的数量关系。

建议：列出数量关系，并用未知数表示出每个分量，思考它们之间的关系，再分别求出分量的取值范围。

师（提问）：类比本节课运用到的一次函数的性质解决实际问题，他们的相同之处和不同之处是什么？

设计意图：教师放手让学生独立尝试解题，通过分享学生的答题情况，总结此类问题的易错点和难点，并给出答题建议，有助于提升学生解题能力。最后让学生带着问题回顾本节课所学内容，提高反思的针对性，突出解决问题的关键点，帮助学生概括一次函数解决问题的基本思路。

（六）“提升”——适时小结、兴趣延伸

师：我们如何进行中考应用题复习？

1.认真审题，了解题目背景，联系生活，弄清每一个名词、概念，建立数学模型。

2.找数量关系，将实际问题的文字语言通过数学符号或记号转化为数学符号语言，以此表示事物的状态和特征。

3.利用方程（组）、不等式、函数等数学模型去解决问题。

4.回顾课本例题和习题，研究近几年中考题型，总结领悟解题思路和解题方法，提升分析问题和解决问题的能力。

设计意图：透过一次函数应用题的复习，引导学生总结备考阶段如何进行应用题题型的复习，以便学生能在课后根据自己的实际情况进行有效复习。

三、教学反思与点评

（一）充分理解核心知识，提升核心能力

《义务教育数学课程标准》（2011年版）在第三学段（7～9年级）“问题解决”中明确提出：“初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。”其中“应用意识”作为十大核心概念之一，它有两个方面的含义，一方面有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题;另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。中考应用题的命题以课程标准为依据，以学生生活、社会生活实践为背景，重视考查学生抽象概括能力，联系实际生活分析问题、解决问题的能力，凸显数学应用意识及模型思想。

方程（组）、不等式及函数是“数与代数”知识领域的核心内容，各知识体系之间联系紧密，数学建模的过程也较为相似。实际上，方程、不等式、函数的知识联系也可以理解为特殊到一般的过程，与方程、不等式相比，函数是更上位的知识，处于核心地位。因此，随着问题的深入，对函数知识的考查占比就会更多一点，这也是学生在知识掌握方面的难点，所以在本节课的内容讲解中，教师通过问题解决体现函数的应用是一个关键点。

（二）精准学法指导

1.审题指导

要解决实际问题，审题是一个十分重要的环节。而审题的过程实际上是学生把实际问题转化为数学问题的过程，同时也是将具体问题抽象为数学模型的过程。这节课中，为了让学生充分理解题意，教师给学生留出独立读题和审题的时间，引导学生阅读文字、解读信息，让学生对所有条件一一分析、一一表示后，找出每段文字的关键词，把“关键词”“关键句”“翻译”成数学符号语言，利用表格梳理量与量之间的关系，从而建立起数学模型。在解决问题的同时给出审题的具体策略，方便学生在以后的解题训练的过程中，提高分析问题的能力。

2.解题过程表达指导

学生获得解题思路之后，往往不重视解题的书写过程，教师要通过详细展示解题过程，指导学生规范书写表达，从而避免考试中“会做不得分”的情况。

3.高效教学反馈机制

本节课的一个亮点是错题辨析。在应用题的教学过程中，教师常常遇到的问题是学生因对实际问题的理解存在偏差而导致一些错误，如数学模型应用不对，分类讨论的节点不对，因解题过程不规范而出现错漏等。教师通过教学经验的积累，给出一些典型性错误解题情况，也是学生普遍出现的错误，其目的是使学生对函数模型的应用有更深刻的认识。对有教育价值的错误，适时分析错误原因，这样建立在学生亲身经历的基础上的错误辨析才能真正起到辨析作用。

（三）利用优秀模型成果，搭建完整教学框架

教师在专题复习课上，除了对专题知识与方法进行巩固，还应在问题难点上有一定的突破。教师要想让学生对专题内容有更为深入的理解，还要对专题的内容进行更深入的挖掘，使“旧”课上出“新”意，从而有效提高课堂教学质量。基于以上备课思路，本节课在教学设计的基本框架上采用了“四度六步”教学法。这套教学法通过“温故—引新—探究—变式—尝试—提升”这六个精心设计的教学步骤体现出精彩课堂的四个维度，即在教学设计的出发点上体现以学生为本的教学理念，这是教师课堂教学的温度，在问题内容的层次性上体现出梯度与难度，在思想方法的传递中体现出课堂教学的宽度。

（四）其他思考

受新冠肺炎疫情的影响，本节课是以“空中课堂”的形式完成的。这只是一种单向的传授方式，课堂基本是教师的教学预设，缺乏学生的即时反馈，这是比较遗憾的。因此，一方面需要教师在线上练习和辅导中，及时掌握学生的学习情况，帮助学生完成学习任务;另一方面，教与学本质的双边关系使得课堂教学有更强的活力和吸引力，教师课堂教学的情感投入也应在教学环节中有更为显性的展示，尽可能地克服“空中课堂”带来的交流障碍。

作者简介：温红春（1984— ），女，壮族，广西南宁人，一级教师，理学学士，研究方向为中学数学课堂教学及考试命题;农学宁（1971— ），壮族，广西天等人，高级教师，理学学士，广西特级教师，研究方向为中学数学课堂教学及考试命题。

（责编 刘小瑗）