平方差公式的课堂导入比较

陈莉娜 朱福胜 黄振坤

【摘要】课堂导入是教学的第一个环节，而良好的开端不仅会激发学生的学习兴趣，更能事半功倍地完成教学的目标.“教学有法，教无定法”，不同的教师对同一节课的课堂导入处理方式是不同的.以“平方差公式”一课为例，三位教师的课堂导入的方式就不尽相同，分别为故事导入法、提问导入法、实践活动导入法.故事导入法侧重于情境创设，为学生主动建构提供平台;提问导入法侧重于数学深度思考，旨在提升学生的数学思维品质;实践活动法侧重于对数学知识的多元表征，丰富学生认知表象.三种不同课堂导入也有其共同之处，表现在师生之间积极对话，聚焦数学知识本质.

【关键词】课堂导入;数学教学;初中数学;平方差公式

【基金项目】2018福建省中青年教师教育科研项目“基于问题探究的数学案例教学研究”（JAS180218）.

一、“平方差公式”的教学认识

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：“数学教学活动，特别是课堂教学应激发学生的兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”[1]可见，数学课程标准对教师提出了明确要求，而教师如何将数学课标理念融入教学，是课程改革实施的关键.以“平方差公式”一课为例，在设计平方差公式课堂导入环节时，教师应该把握住学生的学习心理特征，激发起学生学习的积极性，引导学生主动思考与探索.

本文共选取三个“平方差公式”教学实录的片段.其中片段一与片段二的教学内容选自人教版初中数学八年级上册14.2.1（第一课时）.片段三的教学内容选自苏科版初中数学七年级下册9.4.2（第二课时）.

从教材的内容整体上来看，人教版和苏科版都是在有理数、整式的加减以及整式乘法的等知识的基础上进一步学习平方差公式.即在学习多项式与多项式相乘后，引导学生观察其多项式结构特征，猜想平方差的公式的结构特征，这种教材处理方式反映了从特殊到一般的数学思想.平方差公式刻画了多项式（a+b）与（a-b）相乘的规律，也为今后的因式分解、分式的运算以及函数等知识学习奠定了基础.因此，“平方差公式”教学内容在两个版本的教材中都起着承上启下的作用.

从教材的编排顺序上来看，“平方差公式”是人教版初中数学阶段的第一个公式，有着里程碑的意义.而苏科版初中数学阶段的第一个公式是“完全平方公式”，紧接其后才是“平方差公式”.不同版本的教材在编排顺序上会有所不同，而其中的原因是教材编排的意图有所不同.我们可以知道完全平方公式的表征是“相同”，而平方差公式表征是“相反”.[2]那么苏科版先学习完全平方公式，再学习平方差公式，则是从“相同”到“相反”的过程，这符合学生的一般认知规律，也与苏科版教材编排更注重从整体上考虑的意图相一致.而人教版教材的编写往往是呈螺旋式上升，即学生在通过“观察-探究-猜想-验证”的思维活动之后，建立数学模型，推导出平方差的公式，更能培养学生的逻辑推导能力.

二、“平方差公式”的课堂导入案例

“平方差公式”教学中常用的几种导入方法，分别为故事导入法、提问导入法、实践活动导入法.该案例所选取的教学片段均来自一线教师的教学课堂实录，通过对比不同教师在课堂导入环节的不同设计，分析不同的人课堂导入的教学效果.

（一）故事导入法

故事导入法，它是教师运用与新知识相关，有故事情节的资源，呈现其生动形象的情节内容，让学生通过对故事情节的感知体验，产生对新知识探求的迫切愿望.[3]

片段一：

（本片段选自云南省，人教版初中数学八年级上册1421“平方差公式”-马吕燕）

师：同学们，最近森林里的熊二遇到一个问题.我们能帮他解决问题吗？

生：好.（同学们充满着好奇心）

师：光头强开了家租地公司，他把一块边长为m米正方形土地租给熊二种植.一天，他对熊二说：“我把这块地的一边增加10米，另一边减少10米，再继续租给你.你也没吃亏，你看如何？”熊二一听，觉得没有吃亏就答应了.回到熊洞把这件事情和熊大讲了.熊大听后，和熊二说：“熊二，你吃亏了.”熊二很吃惊.同学们，你们能告诉熊二，这是为什么吗？

（学生一脸茫然，老师拿起之前准备好的正方形卡片，通过折叠，将正方形卡片的一边长增加10米和另一边长减少10米，向学生展示，这块正方形地的面积关系.）

师：同学们看，这是一块边长为m米的正方形，现在我们把一边的边长减少10米，一边增加10米.好的，同学们，观察下，熊二有没有吃亏？

生：吃亏了.

（老师再用几何画板详细演示图形变化的动态过程）

生：原来的面积是m2，现在的面积是（m+10）（m-10），〖HJ1.3mm〗利用上节课的多项式的乘法，结果为m2-100.经过比较，面积确实变小了……

（二）提问导入法

提问导入法是引导学生一步步进行探究的过程，挖掘数学知识之间的衔接，不仅有利于深化学生对新授知识的理解，帮助学生建立系统性的数学知识体系，还能培养学生深度思考的能力.

片段二：

（本片段选自浙江省，人教版初中数学八年级上册1421“平方差公式”-刘静）

师：我们在前面已经研究了多项式乘多项式的计算，现在请同学们在你们课堂练习本上，写两个二项式相乘的式子.

生1：（x+3）（y+5）=xy+5x+3y+15.

师：这个结果有几项了？

生：四项.

师：那现在，把上式的多项式稍微改动，使得计算结果是三项？同桌之间，相互交流下.

生2：（x+5）（x+3）=x2+3x+5x+15=x2+8x+15.

師：结果是怎样变成三项的了？

生2：合并同类项.（个别同学回答）

师：现在，还想让它的计算结果变成两项.想想看上述式子怎么改？

生3：（x+5）（x-5）=x2-5x+5x-25.

师：你是怎么思考这个问题的？

生3：上述式子，由计算结果由四项变成了三项是因为中间两个单项式合并同类项.那么我想着中间两项合并同类项之后，结果为0.

师：很好，那我们看看这两个多项式，这两个项有什么关系？我们可以看到x与x相同项，5和-5是相反项.听好，现在的要求是，你们动手写出计算结果只有两项.

（学生动手计算后，老师选择两位同学的回答问题）

生4：（y-10）（y+10）=y2-10y+10y-100.

生5：（a+6）（a-6）=a2-6a+6a-36.

师：现在你们来观察一下，到底怎样的两个二项式相乘，结果会是两项的了？

（学生合作交流，教师引出平方差公式，总结平方差公式的结构特征）……

（三）实践活动导入法

实践活动导入法，它指的是教师首先根据新知识提出问题，然后通过巧妙地设计实践探究活动，让学生带着对问题的积极思考参与到实践活动中来，并在亲自动手实践的过程中解决问题，进而学习新知识.[4]

片段三：

（本片段选自江苏省，苏科版初中数学七年级下册942“平方差公式”-孙凯）

师：同学们，老师将边长为a的正方形卡片，在其右下角剪去一个边长为b（b

生1：阴影中的面积是大正方的面积形减去小正方的面积，大正方形的边长为a，则大正方形的面积为a2.小正方形的边长为b，则小正方形的面积为b2.所以阴影部分的面积为a2-b2.

师：那你还能怎么表示阴影部分的面积了？带着这个问题，四人一个小组，合作交流.

（同学们合作交流之后，上台展示）

生2：我们将阴影部分的图形面积分割成两个梯形，它们的上底是b，下底是a，高为a-b.那根据梯形的面积计算公式可得，（a+b）（a-b） 2×2，即（a+b）（a-b）.（如图5所示）

生3：我们将阴影部分的图形面积分割成两个梯形，把它们拼成一个长方形，它的长是a+b，宽是a-b.那根据长方形的面积计算公式可得，（a+b）（a-b）.（如图6所示）

生4：我们将阴影部分的图形面积先分成两个小的长方形，再将其拼成一个大的长方形，长为，它的长是a+b，宽是a-b.那根据长方形的面积计算公式可得，（a+b）（a-b）.（如图7所示）

师：用不同的方法计算得到阴影面积为a2-b2=（a+b）（a-b）.

……

三、“平方差公式”的课堂导入反思比较

（一）情境创设，为主动建构提供平台

弗赖登塔尔认为，“情境问题是教学的平台”，情境问题是直观的、容易引起想象的数学问题，这些数学问题所依托的背景是学生所熟悉的事物，能促使学生对情境问题有所加工与思考.情境创设，能够有效地为将新知识融入具体生动的情境，恰到好处地激发学生的求知欲，促进学生对新知的建构，重组原来的知识结构.例如，案例一中使用了故事导入法，恰恰利用了学生的学习心理特征，创造一个故事情境，为学生的主动建构提供一个平台.事实上也证明，教师设置了“租地”的问题，成功吸引住学生的注意力，使得学生处于一种充满好奇的状态中，主动、积极、有意识地想要去解决问题.

（二）深度思考，提升数学思维品质

深度思考，是教师有意识地引导学生透过事物的表象探寻问题的实质，理解内在的数学逻辑联系，多角度去分析问题，从而灵活地解决数学问题的过程.例如，案例二中的教师以“计算结果的项数有多少”为导向，设置环环相扣问题链，挖掘数学知识之间的衔接，引导学生一步步去探究，这种提问导入法体现了数学思维的深刻性.因此，教师应引导学生理解新旧知识之间的关系，建立系统性、结构化的数学知识体系，找出事物的内在联系和规律，久而久之学生探究学习的思维品质就能得以提升.

（三）多元表征，丰富数学认知表象

多元表征，从表征的感觉通道来看，数学表征可以是听觉表征（如教师的言语等）、视觉表征（如多媒体展示）和动作表征（如折纸作图等）.[5]显然案例二的教师过于强调听觉表征，这在某种意义上不利于学生对数学内容的完整理解.案例一与案例三的教师注重多元表征的结合使用，使得学生从不同的角度、不同的视角对其本质进行视觉化或体验化的阐述.由此可见，多种表征之间能相互联系，相互促进，进而逐渐完善学生的表征体系以及丰富学生数学的认知表象，进一步巩固学生的数学核心素養.因此，教师在设计课堂导入的教学中，应积极采取多元表征形式，对教材进行深入的加工，完善学生的认知图式，促进学生对数学的本质感悟.

（四）数形结合，将代数问题几何化

数形结合的本质思想，是将复杂、抽象的数量关系转化成简单、具体的图形表示，进而拓展学生的思维方式，更加直观化、生动化理解数学内在联系.例如，案例一和案例三的课堂导入教学设计都巧妙地抓住了“平方差公式”与“数形结合思想”的切合点，将代数的问题几何化，充分地将复杂的问题简单化.同时，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中也提到“几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用.”[1]因此，在课堂导入的教学设计中，教师应积极渗透数形结合思想，并能够引导学生用几何直观的思维思考数学的概念，多角度多方位探索数学的问题.

（五）师生对话，聚焦数学知识本质

有效师生对话，目的是揭示数学的本质，促进思考，挖掘数学之间的内在联系.例如，案例一的教师语言简练明快，绘声绘色，能将故事讲得生动形象、深入浅出，那么这节课师生间的对话就显得生动有趣，促进了师生之间的情感、思想的交流.案例二的教师能依据教学重点、难点设计具有针对性的问题，使学生积极参与课堂互动，围绕问题打开思维.那么这节课师生间的对话能引起学生深度思考，直击数学问题的本质，积极参与课堂数学活动中.案例三的教师采用实践活动导入法，学生自己动手实践操作并将学习的结论与同伴交流分享，学会自我表达、共享经验.那么这节课师生之间的对话，具有启发性与引导性，最大限度调动学生的参与度.因此，师生之间的对话，能够激发学生的数学学习潜能，帮助学生摒弃数学冰冷的形式内容，从而聚焦数学知识的本质.

总而言之，不同的课堂导入方法，有着其不同的特性.而课堂导入的艺术在于能够根据学生的具体情况，充分调动起课堂的氛围，使得学生最快进入教学情境中.学生主动学习的过程应是充满动态性，而不应该过于刻板、模式化，因而，课堂导入的方式，并不存在于好坏之分，而在于能否选取适当的课堂导入方式进行教学.

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]孙凯.发展符号意识，凸显思想方法——以“平方差公式”教学为例[J].中学数学杂志，2018（4）：26-29.

[3]钟红丽.中学数学课堂教学“导入设计”的比较研究[D].南充：西华师范大学，2016.

[4]韩晓雪.初中数学概念课导入方法研究[D].呼和浩特：内蒙古师范大学，2017.

[5]杜青霞.高中生数学概念多元表征的调查研究[D].武汉：华中师范大学，2014.