多边形内角与外角和教学反思

多边形的内角与外角和教学反思5篇 反思一：多边形的内角与外角和教学反思 （1）本节课给学生提供的探究思考与交流的时间空间不足，展示交流的机会不够充分，有的同学没有表现的机会。没有真正做到放手让其那个学生去探究而是主要由老师引导研究。较多的着眼于课堂形式的多样化及学生能力（如：合作、探究、交流等）的培养，而忽视了教学中最重要的知识点的落实。这样对培养学生的创造性和分析问题的能力没有达到最佳状态。

（2）
小组讨论可以说是新教材框架中的一个重要部分，也是“五步释疑教学法”的必不可少的一个环节，事先一定要有详细的计划。这也是本堂课暴露缺陷较多的环节。比如：组员的设置（七、八人一组加上发下的表格较少使得讨论未能有效的开展），以4、5人为一组较为合适，且要分工明确，如谁记录，谁发言等等，避免某些小组成员流离于合作之外。教师还应精心策划：讨论如何有效地开展；
时间多长；
采取何种讨论方法；
在讨论过程中又该担当何种角色等。在小组交流过程中学生的发言过分地注重于探索的结果，而忽视了学生探索过程的展示。同时有些总结性的话，限制了学生的思维，不能最大限度的发挥学生自主探究的能力。

反思二：
本节主要介绍多边形的内角和与外角和公式，是一节自主探究课． 本节的知识内容就是要让学生通过探索多边形的内角和与外角和，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题．所以在教学过程中，教师可以放手让学生探索，利用多种方法进行研究．同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力． 在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，发展学生的合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法，让学生在获得数学活动经验的同时，提高探究、发现和创新的能力． 反思三：
虽然整堂课下来出现了较多的漏洞，但我想作为一个新教师的一种尝试也未尝不可。只有通过不断地尝试，不断地失败，我们才能到达胜利的彼岸！ 整 体上感觉本节课上的很成功，整个教学流程符合预先设计，教学任务完成良好。开始由多边形的一个顶点引对角线，研究把多边形分成几个三角形。主要 研究四边形、五边形、六边形、七边形……然后推到N 边形。通过研究发现由多边形的一个顶点引对角线后原多边形被分成（n-2 ）个三角形。由此可得多边形的内角和公式为：（n-2 ）180 。这里充分体现由特殊到一般的推理特点。

换一个角度看问题，在多边形 内任取一点与各个顶点相连得到n 个三角形，但是这里多算了一个周角，因此可得得到公式为：180n-360. 这样培养了学生从多方面探究问题的能力。通过观察、猜想、推理、交流、使学生真正理解掌握相关的数学知识和思想方法。

多边形的内角和这节课涉及到的内容比较多概念也比较杂，因此在这节课中我设计了一份学生学案，整节课的思想是“从特殊到一般”、“化未知为已知”的数学思想…… 由 三角形的内角和过度到多边形的内角和从而求出多边形的内角和，这节课上学生大部分能够认真听讲，但是由于多媒体课件的原因外加时间关系有些学生无法跟上教 师的教学速度，这节课的难点是探索多边形的内角和，重在学生的探索发现以及验证猜想然而我却花了过多的时间在引导学生没有真正做到以学生为主的探索方 式……在课堂上采用小老师的形式对学生的积极性有了一定的提高但是涉及面不广……台下的学生能够对台上学生的讲解过程提出更多的要求同时也加深了学生的印 象。

反思四 1、在初一旧教材中完成三角形内外角和的教学之后，学生很自然地就会想到对于多边形的情况如何。结合新教材中这一部分内容的编排，所以特意在教学过程中安排了这样一堂活动课，希望对于新课程标准思想有所体现。

2、 为了体现课堂以学生为主，培养学生自主探究的能力，在课前的教学设计中尽量围绕学生展开。如：采取了小组合作学习、组与组之间交流等形式。虽然想法上有此 意图，但在具体的实施过程中还是暴露出了很多问题，有事先没预计到的，也有想体现但没体现完整的。经过课后反思及老教师们的指点，主要表现在：
（1）较多的着眼于课堂形式的多样化及学生能力（如：合作、探究、交流等）的培养，而忽视了教学中最重要的知识点的落实。学生练的机会不多，仅有编制习题解答这一部分，且对学生来说要求较高，教师在编题前可先让学生解题，给学生搭好阶梯，使其不至于感到突然。

（2）
小组讨论可以说是新教材框架中的一个重要部分，教师事先一定要有详细的计划。

这也是本堂课暴露缺陷较多的环节。比如：组员的设置（七、八人一组加上发下的 表格较少使得讨论未能有效的开展），以4、5人为一组较为合适，且要分工明确，如谁记录，谁发言等等，避免某些小组成员流离于合作之外。教师还应精心策 划：讨论如何有效地开展；
时间多长；
采取何种讨论方法；
教师在讨论过程中又该担当何种角色等。

（3）在小组交流过程中学生的发言过分地注重于探索的结果，而忽视了学生探索过程的展示。同时教师有些总结性的话，限制了学生的思维，不能最大限度的发挥学生自主探究的能力。

（4）
教师在教学过程中对学生的评价较为单一，肯定不够及时，表扬不够热情，比如当最后一个平常表现较为一般的学生有此创意时，教师就应大加赞扬，从而也能激发课堂气氛。

反思五：
1、教的转变 本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者，在引导学生观察、探究、讨论后，发现结论，展示成果，激发学生自觉探究数学问题，体验发现的乐趣。

2、学的转变，学生的角色从学会转变为会学。本节课学生不是停留在学会本知识层面，而是站在研究者的角度深入其境。

3、 课堂氛围的转变整节课以“流畅、开放、合作、‘隐’导”为基本特征，教师对学生的思维减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征。整节课学生与学生，学生 与教师之间以“对话”、“讨论” 、“提问”为出发点，以互助合作为手段，以解决问题为目的，让学生在一个比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向，判断发现的价值。

浅谈列一元一次方程解应用题的教学技巧 　摘 要：一元一次方程解应用题是初中数学教学的重点和难点之一，寻找等量关系又是列方程解应用题的关键，从如何寻找等量关系、如何利用等量关系列方程、如何设未知数来探讨列一元一次方程解应用题的教学规律。

关键词：一元一次方程；
解应用题；
等量关系；
列方程；
解题规律
一元一次方程解应用题是初中数学教学的重点和难点之一，也是所有列方程解应用题教学中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的教学对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用、分式方程的应用、一元一次不等式（组）的应用等教学有着至关重要的作用，也是初中数学理论联系实际的一个重要方面，通过列一元一次方程解应用题的教学，可以很好地培养学生分析问题和解决问题的能力、增强学生的逻辑思维能力，但由于初中一年级这一阶段学生的机械记忆力较强，而分析能力却相对较弱，因此，要提高初一年级数学应用题的教学效果，除了要逐步提高学生的数学分析能力外，及时地给学生以解题方法论的指导，也是每一位数学教师必须考虑和认真探索的问题。

一、寻找等量关系是列方程解应用题的关键 列方程解应用题中最关键的是怎样正确地找出能够表示应用题全部含义的等量关系。要找到等量关系，首先，要分析每一道应用题属于哪种类型，量与量之间有什么基本关系式。如，在行程问题中的路程、速度、时间三者的关系；
工程问题中的效率、时间、工作总量三者的关系；
销售问题中的进价、定价、售价、利润和提价或降价的百分率的关系等。其次，要从多角度出发，引导学生根据未知数与已知数，已知数与已知数的关系去寻找等量关系，当等量关系比较隐蔽时，还可借助图解形象直观地反映数量关系，便于学生寻找等量关系。

例如，某校师生到离学校28千米的地方游览，开始一段路步行，速度是4千米/小时，余下路程乘汽车，速度为36千米/小时，全程共用了1小时，求步行所用时间。 
这道题相对较简单，可先找到表示等量关系的语句“全程共用了1个小时”即步行时间和乘车时间一共用了1个小时。以及由题意可知道的路程由步行路程和乘车路程组成，即步行的路程和乘车的路程之和等于28千米。如果设步行时间为x小时，那么有： 
速度 时间 路程 
步行 4千米/小时 x小时 4x千米 
乘车 36千米/小时 （1-x）小时 36（1-x）千米 
在这道题中时间表示已知量和未知量的关系，而路程表示方程的等量关系。 
可列方程为：4x+36（1-x）=28 
从而可解出这道题。 
二、如何利用等量关系列方程 
在一元一次方程的应用题中，有时只能找到一个等量关系，这种题较容易解决，但有些应用题往往可以找到两个等量关系，这时怎么解呢？笔者通过多年的教学实践，发现许多有关一元一次方程的应用题有以下规律：设用第一个相等关系，就以第二个相等关系来建立方程；
设用第二个相等关系，就以第一个相等关系来建立方程。 
例1.小新出生时父亲28岁，现在父亲的年龄是小新年龄的3倍，求现在小新的年龄。 
本题有两个相等关系： 
（1）代差：父亲年龄-小新年龄=28 
（2）父亲现在年龄=3×小新现在年龄 
方法一：设用第一个相等关系，设小新现在年龄为x岁，则父亲现在年龄就为x+28岁，就以第二个相等关系来建立方程：  x+28=3x 
x=14 
方法二：设用第二个相等关系，设小新现在年龄为y岁，则父亲现在年龄就为3y岁，就以第一个相等关系来建立方程：
　　3y-y=28 
y=14 
下面以一元一次方程解应用题中的行程问题为例，行程问题有三个量：路程、速度、时间，往往已知一个量，同时还有有关另外两个量的相等关系，设用其中一个相等关系，就以另一个相等关系来建立方程。 
例2.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时；
从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5小时。已知水流的速度是3 km/h，求船在静水中的平均速度。 
本题是一个行程问题，时间是确定的，另外还有关于速度和路程的两个相等关系，设速度就以路程的等量关系来建立方程；
设路程就以速度的等量关系来建立方程。 
（1）顺流速度-逆流速度=6 
（顺流速度=静水中的速度+水速，逆流速度=静水中的速度-水速） 
（2）顺流路程=逆流路程 
方法一：设用第一个相等关系，设船在静水中的平均速度为x km/h，则船的顺利速度为x+3 km/h，则船的逆水速度为（x-3）km/h，就以第二个相等关系来建立方程： 
2（x+3）=2.5（x-3） 
x=27 
方法二：设用第二个相等关系，设甲、乙两码头相距y千米，就以第一个相等关系来建立方程： 
y/2-y/2.5=6 
y=60 
y/2-3=27  例3.小花的妈妈为爸爸买一件衣服和一条裤子，共用了306元，其中衣服按标价打七折，裤子按标价打八折。衣服的标价为300元，裤子的标价是多少？ 
本题有两个相等关系： 
（1）商品的售价=商品的标价×折数 
（2）衣服的售价+裤子的售价=总和 
方法一：设用第一个相等关系，设裤子的标价为x元，则裤子的售价就为0.8x元，就以第二个相等关系来建立方程： 
300×0.7+0.8x=306 
解得x=120 
方法二：设用第二个相等关系，设裤子的售价为y元，则衣服的售价为306-y元，就以第一个相等关系来建立方程： 
306-y=300×0.7 
解得y=96 
裤子的标价=y÷0.8=96÷0.8=120 
这样反复训练几道题，我相信学生一定能从中找出一元一次方程解应用题的解题规律，从而能很好地培养学生分析问题和解决问题的能力。 
三、使学生掌握设未知数的技巧 
设未知数是列方程解应用题的关键步骤之一，通过上面的训练，我们应该知道并非都是只能问什么就设什么，恰当地设未知数往往能起到事半功倍的效果，初学者往往难以掌握，教师要教会学生设未知数的方法。设未知数常用两种方法： 
1.直接设元法 
当题中等量关系能明显表示出所求未知量时，可以采用直接设未知数的方法，即在题目里问什么，就设什么做未知数。这样设未知数后，只要求出所列方程的解，就可以直接得到题目所求，在多数情况下都可以用直接设元法来解方程。例如，小颖种了一株树苗，开始时树苗高约40 cm，栽种后每周树苗长高约5 cm，问大约几周后树苗长高到1米？这个问题就宜采用直接设元法。  　2.间接设元法 
当直接设未知数列方程比较困难或列出的方程不易求解时，可以采用间接设元法，即设所求问题相关的间接未知数。这种方法特点是先将所设未知数求出来，然后通过题意再将题中所求未知量求出来。例如，一个两位数，个位与十位上的数字之和为7，若把它们十位上的数字与个位上的数字对换，所得到的两位数比原来的两位数大27，求这个两位数。直接设这个两位数是做不出来的，此问题就应采用间接设元法，可设个位上的数字或者设十位上的数字。然而，有些问题既可以采用间接设元法，又可采用直接设元法，从而形成一个问题的多种解法，对于这样的问题，要求学生选一种简便的解法。 
随着新课程改革的深入，如何更好地培养学生运用数学知识解决实际问题的能力显得越来越重要，所以应用题的教学不容忽视。作为数学教师在思想上要高度重视，在行动上要精心安排，认真落实优化应用题教学，始终着眼于学生应用意识和能力的提高，应用题将很好地促进素质教育的发展，学生素质也将会在应用题教学中得到显著提高。 
参考文献： 
朱慕菊.走进新课程：与课程实施者对话.北京师范大学出版社，2002-06. 
（作者单位 云南省曲靖市沾益县第五中学）
简析一元一次方程应用题 从小学到中学，文字应用题一直是老师和学生头痛的一大难题，特别是一元一次方程应用题。学生初学列方程解应用题时，往往弄不清解题步骤，分析问题思路不够明确，对一元一次方程解应用题的方法掌握的不够牢固和熟练。为此，本文主要从一元一次方程的解法，应用，学情分析及题型分析几方面来简单介绍一下我所理解的一元一次方程应用题，仅代表个人见解，供大家讨论，提出建议。

一、学情分析 1、学生初学到方程解应用题时，往往弄不清解题步骤，不设未知数就直接进行列方程或直接进行列方程或在设未知数时又单位却又忘记写等。

2、学生在用一元一次方程解应用题时，可能存在分析问题时思路不同，列出方程也不同，这样部分学生可能会怀疑自己的解法存在错误。实际不是，作为老师应该鼓励学生开拓思路，在将例题时就贯穿其中，让学生明白只要思路正确，所列方程合理，都是正确的。这样学生在做题时就会选择合理的思路，使得方程尽可能简单明了。

3、学生在用一元一次方程组解应用题时，抓不准相等关系或找出相等关系后不会列方程，甚至部分学生列出方程后不会解方程。

4、学生在学习中可能习惯于用算术方法分析问题对于用代数方法分析应用题不适应，以至于较为复杂的应用题无法找到等量关系，随便列式解答。

5、学生在学习中习惯于套题型，找解题模式，而不重视分析等量关系。

二、简单分析解一元一次方程应用题 至于解一元一次方程应用题呢？关键是找出代表题目全部含义的等量关系。每到应用题都包含事物的情节和数量两个方面。都由已知条件和问题两部分构成。同学们只有对情节和数量关系理解和掌握了，才能将数量关系概括为抽象为数学问题，正确列出方程，这就需要同学们抓住关键语句理清解题思路，另外，把应用题的条件和问题通过线段图表示出来，可以使抽象的数量关系具体化，直观化，便于理解题意，找出已知数更好的列出一元一次方程解应用题。

在一个应用题中，有时可以找出两个或两个以上的等式，而我们列一元一次方程能以以个代数式为依据来列方程组。这时就需要我们确定出一个既包含题目的已知数量又要能直接或间接的包含未知量的代式。确定好等式后，再分析等式左右两边的已知量和未知量与所求问题关系，若能通过此未知量求出所求问题，则确定此未知量为X。若出现两个或两个以上未知量，这时需要根据题目中其它等式找出这些未知量的关系，结合所求问题确定其中一个为X然后再用含未知数的代数式表示其它未知量。最后再根据等量关系列出方程组。

综上所述，列方程解应用题的一般步骤为：
（1）弄清题意，找出已知条件和所述问题；

（2）根据题意确定等量关系，设未知数X （3）根据等量关系列出方程；

（4）列方程 （5）检验，写出答案 下面来看几道例题：
例1已知又甲，乙、丙、丁四个数，甲比乙多3，丙比甲的2倍多7，丁比乙的2倍多5，四个数的总和为45，求这四个数各为多少? 分析：题目中已知的有:甲=乙+3丁=乙*2+5丙=甲*2+7甲+乙+丙+丁=45 未知：甲乙丙丁四个数 通过分析我们可以看出能够包含全部题意的等式是甲+乙+丙+丁=45 右边为45，左边四个数均为未知数，因为只能设其中一个为x，所以分析四个数之间的关系， 故设乙为x，则甲=x+3,丁=2x+5，丙=2（x+3）+7，代入甲+乙+丙+丁=45， 可得方程：(x+3)+(2x+5)+[2(x+3)+7]=45 解出x后，便可求出甲乙丙丁四个数. 解：设乙数为X则：（略）
当然，我们平时遇到列方程组解应用题时，还可通过画图，列表等帮助分析，但不管用什么形式分析，都离不开寻找等量关系。

例2天平的两个盘内分别盛有51g和45g的盐，问应该从盘A内拿出多少盐放到盘B内；
才能使两者所盛盐的质量相等？ 分析：（图略）设应从盘A内拿出Xg盐，列出下表 盘A 盘B 原有盐（g）
51 45 现有盐（g）
51-x 45+x 解：设应从盘A内拿出盐Xg放到B盘内，则根据题意得，51-x=45+X 解之得：X=3 符合题意。

答：应从A盘中拿出3g盐放到B内。

同学们在掌握了用一元一次方程解应用题的方法后，应多做一些不同层次，不同形式的列席，如模仿性的练习，发展性的练习……逐渐学会观察比较，分析综合的学习方法，联系实际学会抽象，概括学会思考的方法，促进思维的提高，提高自主学习能力。

三、一元一次方程应用题的归纳。

用一元一次方程解答实际问题，关键在抓住问题中有关数量的相等关系，列出方程，求的方程的解后，经过检验，就可得到实际问题的解答。

这一过程可以简单的表述为：
其中分析和抽象的过程通常包括：
（1）弄清题意和其中的数量关系，用字母表示适当的未知数。

（2）找出问题所给出的有关数量的相等关系，它反映了未知量和已知量之间的关系；

（3）对这个等量关系中涉及的量，列出所需表达式，根据等量关系得到方程，在设未知数和做出解答时，应注意量的单位。

浅析初中生解一元一次不等式(组)应用题 的困难及应对策略 【摘要】 现实世界既包含大量的相等关系，又存在许多不等关系. 解决实际问题的过程中，有时不能确定或无需确定某个量的具体取值，但可以求出或确定这个量的变化范围，不等式（组）就是探求不等关系的基本工具. 列不等式（组）解决实际问题是初中数学中的难点，同时也是中考的热点. 解这类题的关键是在实际问题中找出相等关系和不等关系，列出方程和不等式. 但在解不等式（组）时有的同学常因基础不扎实、概念不清、粗心大意，而在解题过程中遇到各种困难.
【关键词】 初中生；
一元一次不等式（组）应用题；
应对策略

对于“不等式（组）”，新课程标准的具体要求是：“能够根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式和一元一次不等式组， 解决简单的实际问题， 并体会不等式（组）也是描述实际问题的一个有效的数学模型.”
虽然同学们都能够记住解题步骤，但是在解这类应用题时由于经验不足、抓不到关键词、概念混淆、思维定式等原因的存在，使学生们在解题过程中遇到困难，而不能得到正确的解. 一、解题中遇到的困难及常见错误 １． 生活经验的不足及问题信息量大是造成初中生解应用题难的两大屏障 
例１ 地砖按每块５．５元出售，地砖每边长３５厘米，用这种砖铺满长７．８米、宽５．７米的房间，需花费多少钱购买地砖？ 
评析 要正确地解应用题，必须读懂题目中语言文字表达的问题条件和问题要求. 本题中，学生必须清楚“地砖”、“出售”、“购买”、“铺”等词语的含义，否则不能读懂题意. “地砖问题”中的事实知识包括长方形、正方形的概念，以及米与厘米之间的进率换算. 像这类与生活综合知识联系较紧的应用题还有很多，信息量大，经验不足导致学生读不懂题目，不知从何下手，是学生最伤脑筋的. 总之，学生的生活经验、课外知识、社会知识的储备量，已成为度量学生解答应用题思维厚度的一把标尺. 
2． 思维定式造成设未知数出错并带来列式困难 
例２ 苏科版八年级下教科书２０页练习第１题. 
某班学生外出春游时合影留念，１张彩色底片的费用为１元，冲印１张彩照需０．６元. 如果每人预定１张彩照，且每人所花费用不超过０．８元，那么参加合影的学生至少有多少人？ 
错解 设参加合影的学生至少有ｘ人， （错误原因：设未知数不确切，应改为设“参加合影的学生有ｘ人”） 
则１ ＋ ０．６ｘ ≥ ０．８ｘ，（错误原因：列式时不等号反向） 
解这个不等式，得 ｘ ≤ ５. 
答：参加合影的学生有５人． （错误原因：认为此题结果是确定值，而此题结果是一个取值范围） 
评析 在列不等式解应用题中，学生设未知数时，往往受方程应用题的迁移，沿用求什么设什么的做法，常给列式带来困难，甚至出错． 
3． 列不等式（组）时忽视关键词 
例３ （２０１１山东枣庄）某中学为落实市教育局提出的“全员育人，创办特色学校”的会议精神，决心打造“书香校园”. 计划用不超过１９００本科技类书籍和１６２０本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共３０个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍８０本，人文类书籍５０本；
组建一个小型图书角需科技类书籍３０本，人文类书籍６０本． 
（１）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；
  （２）若组建一个中型图书角的费用是８６０元，组建一个小型图书角的费用是５７０元，试说明（１）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？ 
解 （１）设组建中型图书角x个，则组建小型图书角为（３０ － ｘ）个．由题意，得 
８０ｘ ＋ ３０（３０ － ｘ）
≤ １９００，５０ｘ ＋ ６０（３０ － ｘ）
≤ １６２０， 
解这个不等式组，得１８ ≤ ｘ ≤ ２０． 
由于ｘ只能取整数，∴ ｘ的取值是１８，１９，２０． 
当ｘ ＝ １８时，３０ － ｘ ＝ １２；
当ｘ ＝ １９时，３０ － ｘ ＝ １１；
当ｘ ＝ ２０时，３０ － ｘ ＝ １０． 
故有三种组建方案：方案一，中型图书角１８个，小型图书角１２个；
方案二，中型图书角１９个，小型图书角１１个；
方案三，中型图书角２０个，小型图书角１０个． 
（２）方案一的费用是：８６０ × １８ ＋ ５７０ × １２ ＝ ２２３２０（元）；
 
方案二的费用是：８６０ × １９ ＋ ５７０ × １１ ＝ ２２６１０（元）；
 
方案三的费用是：８６０ × ２０ ＋ ５７０ × １０ ＝ ２２９００（元）． 
故方案一费用最低，最低费用是２２３２０元． 
评析 解这类应用题的难点在于理清题意，寻找题目中的关键词语. 例３中的两个关键词“不超过”、“ 不少于”是列不等式（组）的依据. 另外还要注意所设未知数受实际情况的制约，此例中中型图书角的个数ｘ应是正整数． 
不等式应用题的取材广泛，又紧密结合实际生活，解这类题首先要理清题意，寻找关键词，比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比……要节省”等，从而找到不等关系，列出不等式（组），通过解不等式确定不等式的解，最后要检验所求解是不是与实际问题相符合. 
4． 移项或两边同乘（除）负值时不变号 
根据题意正确地列出不等式（组）后，最重要的是解不等式（组）． 
例４ 解不等式：２ｘ ＋ ４ ＞ ｘ － １． 
错解 移项，得２ｘ ＋ ｘ ＞ －１ ＋ ４．  即３ｘ ＞ ３，则ｘ ＞ １． 
例５ 解不等式：－３ｘ ＋ ９ ＜ ０． 
错解 移项，得－３ｘ ＜ －９． 
系数化为１，得ｘ ＜ ３． 
评析 上面两例均犯了不变号的错误. 例４、例５分别因“移项要变号”、“不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向应改变”这类知识点不能及时回应所致. 因而求解时应在掌握知识点的基础上再加细心. 例４的正确结果应为ｘ ＞ －５，例５的正确结果应为ｘ ＞ ３. 
5． 概念或意义不明确 
例６ 求不等式 ２ｘ － ４ ＜ ０的非负整数解． 
错解 因为２ｘ － ４ ＜ 0的解为ｘ ＜ ２，所以它的非负整数解为１． 
例７ 解不等式：｜ｘ｜ ＜ ３． 
错解 ｘ ＜ ３． 
评析 例６和例７错误的原因主要是对某些概念不明确或混淆，如“非负整数解”、“绝对值”等. 非负整数应包括0和一切正整数，故例６正确解为：０和１. 绝对值的意义是指在数轴上某个数到原点的距离，故例７的正确解为：－３ ＜ ｘ ＜ ３. 
6． 去括号时不遵守运算法则 
例８ 解不等式：３ｘ － ２（１ － ２ｘ）
≥ ５． 
错解 去括号，得３ｘ － ２ － ２ｘ ≥ ５， 
故ｘ ≥ ７． 
评析 本题有括号，根据解不等式的步骤，要先去括号. 括号前的数要与括号里的各项相乘. 去括号时，除应遵循乘法的分配律不能漏乘外，还应遵循去括号法则：去括号时，括号前面为“－”，去括号要将括号里的各项都变号. 本题产生错解的原因有两点：括号外的数只与第一项相乘，括号前面是负号只对第一项变号. 因此本题的正确解应为ｘ ≥ １.  7． 去分母时，漏乘不含分母的项 
例９ 解不等式：
＋ ２ ≥ －２ｘ． 
错解 去分母，得ｘ － １ ＋ ２ ≥ －４ｘ． 
移项、合并同类项，得５ｘ ≥ －１，即ｘ ≥ －． 
评析 本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，去分母时，不等式的两边同乘各分母的最小公倍数，漏乘不含分母的项，漏乘了常数项，这是解一元一次不等式（组）时常出的错误之一，应引起高度重视. 因此本题的正确解应为ｘ ≥ －. 
８. 分子是多项式，去分母时忽视了分数线的括号作用 
例１０ 解不等式：
－ ＞ ０． 
错解 去分母，得４ｘ － １ － ３ｘ － １ ＞ ０， 
移项、合并同类项，得ｘ ＞ ２． 
评析 去分母时， 当分子是多项式时，各分式的分子必须看成一个整体. 忽视分数线的括号作用也是解一元一次不等式时常出的错误之一.为避免出这类错，应分别对分子添加括号，再运用去括号法则. 例10中没有添加括号导致了错误. 
正确 去分母，得２（２ｘ － １）
－ ３（ｘ － ２）
＞ ０． 
去括号，得４ｘ － ２ － ３ｘ ＋ ６ ＞ ０， 
移项、合并同类项，得ｘ ＞ －４． 
二、学好解一元一次不等式（组）及应用题的策略 
1． 理解有关的概念  ① 不等式：用“＜”或“＞”号表示大小关系的式子，叫做不等式. 
② 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一元一次不等式. 分母中不能含有未知数. 
③ 不等式的解：在含有未知数的不等式中，把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式若有解，一般它的解有无数个. 
④ 不等式的解集：如果一个不等式有解，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集. 不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知数的值. 
２． 领悟不等式的三个基本性质 
① 不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变. 
② 不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 
③ 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 
不等式的三个基本性质是进行不等式变形的根本依据，其中前两个性质类似于等式的性质，而在运用性质③时，要注意必须改变不等号的方向，这是不等式特有的性质. 
3． 牢固掌握不等式（组）的解法 
解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程相同：① 去分母；
② 去括号；
③ 移项；
④ 合并同类项；
⑤ 系数化成１. 
各步需注意事项：① 去分母：不要漏乘不含分母的项，是否改变不等号的方向；
② 去括号：括号前是负号时，括号内各项均要变号；
③ 移项：移项要变号；
④ 合并同类项：系数相加，字母及字母指数不变；
⑤ 系数化成１：是否改变不等号的方向. 
4． 牢固掌握列不等式（组）解应用题的步骤，抓住不等关系关键词，挖掘隐含的不等关系 
在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语，如“大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过”等．我们一定要利用好这些关键信息，列出不等式（组）以解决实际问题. 
有些题目中无明显表示不等关系的关键词，而是深藏于题意中，这就要求老师引导学生根据问题的实际意义，深入挖掘蕴含其中的不等关系． 
5. 重视不等式（组）应用题的教学 
在平时的教学过程中， 教师既要注重知识的传授和题目的解答，也要重视学生的实践性活动的开展和教学，这样才会避免数学和实际生活脱节，同时教学中要不断地增加新的背景和内容， 跟上时代，弥补生活经验的不足，激发学生学习的热情．对于不等式（组）应用题文字较多学生获得信息困难的问题，教师平常在教学中在应用题上要多停留，有耐心. 
在实际问题中，有许多用方程很难解决的问题，而用不等式去处理则可轻易解决. 应用题是初中数学的重点，列不等式解应用题是初中数学的难点，根据题意正确地列出不等式（组），解应用题就成功了一半. 一元一次不等式（组）的解法十分重要，它与一元一次方程的解法有许多相似之处，但又有其自身特点，同学们要认清两者解法的联系与区别. 正确应对学生在解题过程中遇到的困难，提高学习的积极性，增加学习数学的兴趣，才有可能应用一元一次不等式（组）去解决生活中的实际问题. 
 
【参考文献】 
［１］钟山．不再让学生的困惑成为课堂教学的遗憾――《一元一次不等式组》教学片段所感［Ｊ］.学生之友（初中版）（下）,２０１０（１１）． 
［２］赵春祥．列一元一次不等式解应用题［Ｊ］.初中生，２００９（６）． 
［３］石卫东．解一元一次不等式的常见错误分析［Ｊ］.中学生数学，２００３（１０）． 
［４］任保平． 解一元一次不等式常见错误剖析［Ｊ］.数理化学习（初中版），２００３（３）． 
［５］栾绪友．学好一元一次不等式［Ｊ］.中学生数学，２００９（１４）．  浅谈一元一次不等式组在经济中的应用 摘  要:当前，用一元一次不等式组的知识解决实际问题是中考的必考题，随着现代经济的快速发展，这类题常以现实生活中的经济，经营决策等热点问题为背景。本文从实际出发谈谈一元一次不等式组在经济中的应用。

关键词：一元一次不等式组；
经济；
应用     当前，中考题型越来越灵活多变，出的题目经常会从实际出发，让学生感受到身边处处有数学。这也就要求我们一线教师在平时的教学过程中，要重视数学中的实际问题。下面我就谈谈《一元一次不等式组在经济中的应用》这节课，我的教学设计和感受。

一、教材分析     本节课是人教版七年级下册第九章“不等式与不等式组”中“一元一次不等式组”第二课时，主要内容是探究一元一次不等式组在经济中的应用。它是在学生探究了不等式，实际问题与一元一次不等式和一元一次不等式组之后进行学习的，在整个七年级数学中起着承前启后的作用。

    用一元一次不等式（组）的知识解决实际问题是中考的必考题，随着现代经济的快速发展，这类题常以现实生活中的经济，经营决策等热点问题为背景。不等式与现实生活中联系非常紧密，解决好这类应用题，有助于我们在以后的日常生活中灵活应用所学知识解决实际问题。因此，对于不等式应用题的分析至关重要。

二、教法和学法分析     教法分析：针对七年级学生的学习特点，从学生现实生活出发，提出问题，提高学生分析问题、解决问题的能力，发展逻辑思维能力和有条理表达思维过程的能力。让学生感受数学在经济中的应用价值，培养学生用数学眼光看世界的意识，引导学生关注生活，关注社会，感受类比和化归的数学思想。

    学法分析：在本节课的学习过程中，最重要的是建立不等意识，将经济问题数学化，通过观察、实验、猜想、验证、推理与交流等活动，发展思维能力，促进数学观的建立。  三、例题设计     为了紧扣中考出题方向，在例题的设计上，我从实际出发选取了如下三个探究问题。

    探究一：
    开学了，小颖打算用压岁钱买一台复读机学英语。商店的售价是每台150元，商家售出一台复读机可以获得利润是进价的10%~20%，请问你知道进价的范围是多少吗？（精确到1元）
    探究二：
    “五一”小长假期间，小颖所在的学校打算组织全校385名师生租车去三清山旅游，现已知出租公司提供42座与60座两种型号的客车，42座的客车租金为每辆300元，60座的客车租金为每辆450元。

   （1）如果学校单独去租用这两种客车各需多少钱？    （2）如果学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），但要比单独租用其中一种车辆更省钱。请你帮助学校来选择一种最省钱的租车方案。

探究三：
    三清山中学准备举行“纪念新中国成立60周年”校园红歌比赛, 评出一等奖4个，二等奖6个，三等奖20个。学校决定给所有获奖的学生各发一份奖品，同一个等次获得的奖品相同。

    若三种奖品的单价都是整数，并且要求一等奖的奖品单价是二等奖的奖品单价的3倍，而二等奖的奖品单价是三等奖的奖品单价的2倍，那么如果总费用不少于90元且不大于150元，购买一，二，三等奖的奖品时，它们的单价分别是多少？     以上三个探究题，我都是从实际出发选取的。三清山是我们上饶的名山，是国家4A级风景名胜，刚成功申请世界自然遗产。可以说，例题里从同学们熟悉的三清山入手，学生们倍感亲切，也更易接受。

四、解法探究     列一元一次不等式组解决实际问题是中考要考查的一个重要内容。教学过程中，我反复向学生强调，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：
    1、找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合一起来解决），设出未知数，列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；

    2、解出该不等式组；

    3、从已列出的不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案。

五、易错分析     学生在本节课学习时，容易了解如何审题及设未知数，但对于不等关系的寻找易出错。所以在教学过程中，我要引导学生快速准确地找出题中的不等关系。

六、教后反思     1、根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：三个探究一个活动。使学生把握住实际问题中的量与量之间的关系，突破构建模型中的难点，积累分析复杂问题的经验。

    2、选择当前实事及学生身边熟悉的、感兴趣的问题，激发学生对知识的渴望与追求，体现了知识与生活的联系。

    3、让学生通过探究得出运用数学知识解决实际问题的方法是：从实际问题中获取所需信息——分析、处理有关信息——将实际问题转化数学问题——解答原实际问题。在分析、解决问题的过程中发展学生用数学的眼光看世界的主动性。

  浅谈三角形内角和教学 学习兴趣是学生学习的内部动机，是推动学生探求内部真理与获取能力的一种强烈欲望，它在学习活动中起着十分重要的作用。教学实践表明，学生如果对数学知识充满好奇心，对学会知识有自信心，那么他们总是主动积极、心情愉快的进行学习。因此，在数学课堂教学中，我们要时刻注意发掘教材孕伏的智力因素，审时度势，把握时机，因势利导地为学生创造良好的教学情境，激发学生的兴趣，让学生在学习数学中愉快地探索。下面本人结合苏教版第七册《三角形内角和》一课，谈几点体会。

一、开讲生趣 俗话说：“良好的开端是成功的一半”。一堂课的开头虽然只有短短几分钟，但它却往往影响一堂课的成败。因此，教师必须根据教学内容和学生实际，精心设计每一节课的开头导语，用别出心裁的导语来激发学生的学习兴趣，让学生主动地投入学习。如“三角形内角和”的引入部分，我先要求学生拿出自己预先准备的三个不同的三角形（直角、锐角和钝角三角形），各自用量角器量出每个三角形中三个角的度数，然后分别请几个学生报出不同三角形的两个角的度数，我当即说出第三个角的度数。一开始，有几位同学还不服气，认为可能是巧合，又举例说了几个，都被我一一猜对了，这时学生都感到惊奇，教师的答案怎么和他们量出的答案会一致的。“探个究竟”的兴趣因此油然而生。

二、授中激趣 开讲生趣仅作为导入新课的“引子”，那成功之路，至多只行了一半。还需要在讲授新课中适时地激发学生的兴趣，恰到好处地诱导，充分挖掘知识的内在魅力，以好奇心为先导，引发学生强烈的求知欲。比如上例新授部分，在板书课题后，接着又让全班学生动手做一个实验：分别把各自手里的三个三角形( 锐角、钝角、直角三角形）的三个角剪下，再分别把每个三角形的三个角拼在一起，并言之有趣地激励学生：看谁最先发现其中的“奥秘”；
看谁能争取到向大家作“实验成功的报告”。这时，学生心中激起了层层思考的涟漪，课堂气氛既紧张又活跃，发言争先恐后。还有的学生通过把正方形的纸沿对角线对折，变成两个完全一样的三角形，因为正方形有4 个直角，是360°，所以每个三角形的内角和是180°好方法。显然，此时不但学生对三角形内角和是180°的性质有了感性的基础，而且教师对这一性质的讲解也已到了“心有灵犀一点通”的最佳时刻。

三、设疑引趣 学起于思，思源于疑。“疑”是学生学习数学知识中启动思维的起点。在数学教学中，作为教师要善于提出具有引发学生思考的问题，使学生见疑生趣，产生有趣解疑的求知欲和求成心。

师：表扬：你真聪明。演示：这里教师通过提出两个具有思考性的问题，层层设疑，使学生探究知识的兴趣波澜起伏，时刻处在紧张而又兴奋的学习状态中。

四、练中有趣 练习是巩固所学知识，形成技能技巧的必要途径，是教学的一个重要环境。但也往往被呆板的练习形式、乏味的练习内容，把在学习新知识中激发出来的学习兴趣，而无情淹没，使学生愉快的心情、振奋的精神受到严重的扼杀和抑制。因此课堂练习要设计得精彩有趣，教学中教师根据所学内容，设计不同形式的练习。

1. 练习形式要注意层次性。

设计不同类型、不同层次的练习题，从模仿性的基础练习到提示的变式练习再到拓展性的思考练习，降低习题的坡度，照顾不同层次的学生，使学生始终保持高昂的学习热情。比如“三角形内角和”中在运用规律解题时，先已知两角求第三角；
再已知直角三角形的一锐角求另一角，感知直角三角形的两锐角之和是90° ；
最后已知三角形的一角，且另两角相等，求另两角的度数，或已知三角形三个角的度数均相等，求三角形的三个角的度数。以上设计，通过有层次的练习，不断掀起学生认知活动的高潮，学生学起来饶有兴趣，没有枯燥乏味之感。

2. 练习形式要注意科学性和趣味性。

布鲁纳说过：“学习的最好刺激，是对所学材料的兴趣。”教学时可适当选编一些学生喜闻乐见的、有点情节又贴进学生生活经验以及日常生活中应用较广泛的题目，通过少量的趣题和多种形式的题目，使学生变知之为乐知。比如，本课在完成基本题后，让学生在自己的本子上画出一个三角形，要求其中两个内角都是直角。在学生画来画去都无从下手时，个个手抓脑袋，冥思苦想。这时教师说出“画不出来”的理由，学生们恍然大悟。

科学家爱因斯坦说过：“热爱是最好的老师。”作为一名数学教师，我们要在教学中根据不同的教学内容，不同的学生实际，灵活多变地采用多种做法，进一步激发学生学习兴趣，使学生的思维活跃起来，使学生的脑子积极转动起来，从而活跃课堂气氛，提高课堂教学效果。

 浅谈图形平移与旋转概念的教学      从儿童的生活世界来看，他们已经接触到了大量的物体、图形的平移、旋转或轴对称变换现象。例如，电梯、地铁列车车厢在平行移动，时针、电风扇叶片在旋转，许多动物、建筑物具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换提供了丰富多彩的现实背景。反过来，学习一点图形的变换知识，也有助于儿童更好地观察、认识周围生活中的这些现象。

  从儿童的年龄特征与认知特点来看，小学生正处在好奇心浓厚的阶段，通过图形的变换可以引出无数美妙和图案，使数学更生动地与现实世界联系起来，从而诱发学生主动探索奥秘，激励他们用图形变换的观点去审视周围的事物。因此，尽管整个义务教育阶段都不要求从比较严格的几何变换定义出发来研究变换的性质，但为了搞好这部分内容的教学，教师有必要较透彻地理解图形变换的有关概念。

通俗地讲，所谓平移就是将一个图形按一定的方向移动一定的距离；
所谓旋转就是将一个图形绕一个顶点转动一定的角度。这样描述，比较适合学生的认知水平，但对教师来说绝对是不够的。请看一个案例。

在一堂教学“平移与旋转”的公开课上，老师创设了一个玩游乐场的情境。当讨论到摩天轮的运动时，起初同学们都认为是旋转。不料一位同学执著地要求发言，他说：我坐过摩天轮，我坐在上面始终是头朝上、脚朝下，所以我认为是平移，不是旋转。大家一时都愣住了，教师的对策是让学生小组讨论。这下热闹了，有的同意，认为人的方向没变；
有的反对，理由是人在转圈。直到下课都没有搞清楚是平移，是旋转，还是两者都不是。课后，前来观摩的教师也都议论纷纷，多数认为坐在摩天轮上的人与坐舱的运动不是平移，也有少数认为是平移。是否是旋转呢？同样也有两种意见。由此可见教师自身搞清楚概念是十分必要的。

这里，把最主要的概念与性质尽可能以浅显的方式描述如下。

1，什么是变换？ 一般地说，所谓变换是指某个集合中符合一定要求的一种对应规律。就图形的变换来讲，因为几何图形都是点的集合，所以图形变换可以通过点的变换来实现。如果一个平面图形的每一个点都对应于该平面内某个新图形的一个点，且新图形中的每一个点只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换。

几何变换中最重要的是全等变换与相似变换。

能够保持图形的形状和大小不变的变换就是全等变换。在全等变换中，原图形任何两点之间的距离都等于新图形中两对应点之间的距离，所以又称为保距变换。

能够保持图形的形状不变，而只改变图形大小的变换就是相似变换。在相似变换中，原图形中所有角的大小都保持不变，所以又称为保角变换。

在小学数学中主要引进了平移变换、旋转变换和轴对称变换，这三种变换都是全等变换。相似变换只是在第二学段中有所渗透，如学习比例尺时两个图形按比例放大或缩小，实际上就是一种相似变换。

2，什么是平移变换、旋转变换和轴对称变换？ 先说平移与旋转。如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线，方向相同，长度相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形移动前后“每一点与它对应点之间的连线互平行（或者重合），并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：一是方向，二是距离。

如果新图形中的每个点都是由原图形中的一个点绕着一个固定点（叫做旋转中心）转动相等角度得到的，这样的全等变换称为旋转变换，简称旋转。也就是说，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要三个要素：旋转中心、旋转方向与旋转角度。

现在我们可以回答前面的摩天轮座舱问题了。摩天轮在旋转，但上面的座舱及里面的人始终头朝上，脚朝下，是不是在平移呢？我们可以依据平移的基本特征，画出运动过程中任意两个位置上座舱上下问中点的连线（如图1），它们平行并且相等，所以是平移。

那么座舱及里面的人是否在旋转呢？依据旋转的基本特征，画出座舱下部中点与摩天轮旋转中心的连线（如图2），它们的长明显不相等。

明明摩天轮在旋转，而座舱与里面的人却不是在旋转，而是在平移，这是怎么回事呢？原来，摩天轮在带动座舱顺时针旋转的同时，地球的引力使得挂在吊钩上的座舱也在逆时针细微地转动，从而使座舱与里面的人始终保持向上的方向，并且座舱与人上的每个点都移动相同的距离。其实，数学中所说的旋转、平移，主要考察运动开始、终止状态下两个静止图形对应点之间的关系，它与物理学中研究物体“转动”、“平动”的侧重点有所不同。

再说对称。对称是一个许多学科都在使用的名词，在数学上它占有相当重要的地位。与对称有关的概念如对称多项式、对称空间、对称原理等等，都是数学中比较重要的概念。小学数学所讨论的，仅限于图形的对称，而且仅指平面图形关于一条直线的对称。至于图形的其他形形色色的对称，如旋转对称及其特例中心对称等，都不在我们讨论的范围之内。但是当学生提到这类现象时，如平行四边形（中心对称）、电扇叶片（旋转对称）等，教师不应断然否定它们的对称性，只要指出它们不是轴对称图形就行了。

如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为轴对称变换，每组对应点互为对称点，垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，轴对称的基本特征是，“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定轴对称变换的关键在于找到对称轴。

构成轴对称的图形可以是一个，通常就叫做轴对称图形（如等腰三角形）；
也可以是两个，通常叫做这两个图形关于某条直线对称（如长方形）。

成轴对称的两个图形，任何一个都可以看作是由另一个图形经过轴对称变换后得到的。一个轴对称图形，也可以看作以它的一半为基础，经过轴对称变换而成的。

我们也可以用更通俗的语言，对轴对称图形做出直观的描述：将一个图形对折，如果折痕两边的图形完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，折痕（所在直线）叫做对称轴。当然这种描述偏重于图形性质的刻画，运动变换观点的渗透就不那么突出了。

在数学中，为了刻画平移的方向与距离，通常采用有向线段或向量，并放在特定的坐标系内讨论。为了刻画旋转的要素，最简捷的方式就是采用极坐标。因为图形的变换作为点与点之间的一种对应，要精确刻画它是离不开坐标系的。要是把图形的变换看作一种运动，同样需要参照系。事实上，过去把平移与旋转放在解析几何，主要就是这个原因。在小学数学中，讨论平移和旋转时经常利用方格纸，也是这个道理。

3，平移变换、旋转变换与轴对称变换有什么联系？ 首先这三种变换都能保持图形的形状、大小不发生变化，这是它们最主要的共同点。其次，如果连续进行两次轴对称变换，在一般情况下：
（1）当两条对称轴平等时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次平移变换，平移的方向与对称轴垂直，平移的距离为两条对称同之间距离的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴互平行）相当于一次平移。

（2）当两条对称轴相交时，那么这两次轴对称变换的最后结果相当于一次旋转变换，旋转中心为对称轴交点，旋转角度为两条对称轴夹角的2倍。简略地说，两次翻折（对称轴相交）相当于一次旋转。

上面两条结论是针对图形的一般情况来说的。有些特殊的图形，也可能只经过一次轴对称变换，就能达到平移或围转的效果。

例如图5中“带烟囱的房子”经过两次轴对称变换（对称轴平行，且相距4格），相当于一次向右平移8格。图6中“没有烟囱的房子”只要经过一次轴对称变换就相当于平移了。

此外，上面两条结论反过来同样成立。即一次平移变换可以由两次轴对称变换（对称轴互相平行）代替；
一次旋转变换，也可以由两次轴对称变换（对称轴相交）替换。它们的运动方式不同，但效果相同。

在小学数学教材中，有些图案可以用不同的变换来生成。例如图7的四叶图案，其中的每一片叶，即可以由相邻的那片叶经过轴对称变换得到，也可以由相邻的叶片旋90°得到，或者由同一直线上的那片叶经过平移得到。

认识三种全等变换之间的联系，也有助于我们理解在数学中研究图形变换的关注点，主要在于变换前后图形的相对位置关系及其对应点的关系。

  浅谈轴对称在教学中的作用 　摘 要：通过对轴对称的认识和性质的理解，发现轴对称在初中数学教学中具有重要的地位和作用，利用对轴对称的认识可解决实际问题。

关键词：轴对称；
能力；
应用
“轴对称”是一种最基本的图形变换，是探索图形的性质，认识、描述图形形状和位置关系，对学生建立空间观念，培养空间想象力有着不可忽视的作用。轴对称的概念和性质在解决某些计算、作图、证明等问题中起着重要作用。

一、轴对称培养了学生对数学美、生活美的认识 轴对称广泛地存在于我们的身边，在数字、字母、汉字、建筑中，轴对称都体现了它惊人的魅力。生活中的花边、剪纸、装饰物、照镜子都用到了轴对称。在数学中，很多几何图形都具有轴对称之美，例如：角、线段、等腰三角形、等边三角形、正方形、长方形、圆等等。

二、轴对称培养了学生的动手操作能力
轴对称的教学通过学生的观察、折纸、扎眼、印墨迹、剪纸等操作活动，不仅培养了学生的动手操作能力，而且促进了学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展。

三、轴对称在解决问题中的作用
新课程改革强调图形与变换的内容，突出了变换在图形认识过程中的作用。几何变换思想促进了几何学的发展，有助于改进几何学，变换的思想利于学生创新意识的形成。轴对称作为图形变换的一个重要内容，能较好地考查学生的思维灵活性及深刻性，具有很好的选拔与区分功能，成为近年来的热点问题，下面就此类问题复习及解决方法加以讨论。

1.基础知识精要
（1）轴对称、对称轴、对称点
①轴对称包含两层意思：a.有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
b.对重合的方式有限制，也就是：把它们沿着某一条直线对折后能够重合.
②对称轴是一条直线，而非线段、射线等。

轴对称图形都有对称轴，对称轴有的有一条，有的有两条或多条，有的图形则有无数条。

③对称点是指折叠后重合的点。

（2）轴对称图形
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形.
提醒：轴对称图形是指一个图形的本身。

（3）轴对称与轴对称图形的关系
①二者区别：轴对称是两个图形之间的对称关系，而轴对称图形是一个图形自身的对称特性。

②二者联系：
（i）沿对称轴折叠后都能互相重合。 
（ii）如果把轴对称的两个图形看做一个整体，那么它就是一个轴对称图形；
若把轴对称图形沿对称轴分成的两个部分看做两个图形，那么它们就关于对称轴成轴对称。 
（4）轴对称的性质 
①对应点所连的线段被对称轴垂直平分。 
②对应线段相等，对应角相等。 
2.轴对称应用 
（1）轴对称图形的识别 
一般根据轴对称图形的定义去识别一个图形是否是轴对称图形。 
评注：这类考题比较典型，一般要求我们能利用轴对称图形的定义识别一些特殊的轴对称标志、数字、字母和汉字等。 
（2）设计轴对称图形 
轴对称图形在生活中有着广泛的应用，利用它的性质可以设计出美丽的图案，在设计图案时候要注意美观和实用性。 
3.利用轴对称的特征探索研究图形性质 
（1）利用轴对称的特征解决问题 
①折叠后求角度 
如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则∠AED′等于多少度？  
分析：∠DEF=∠EFB=65°（两直线平行，内错角相等） 
∠FED′=∠DEF=65°（轴对称性质，对应角相等） 
∠AED′=180°-∠FED′-∠DEF=180°-65°-65°=50°  　 　②折叠后求长度  如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是多少？  
分析：对折后△FAE与△DFE全等。设EC=x，则ED=AE=5-x，因为∠CED=30°，ED⊥BC，所以DC=x/2，根据勾股定理x=（5-x）+ （x/2）解得x=20-10
（2）轴对称可以解决镜子成像问题 
镜中的像和实际物体的图形是镜面对称，我们可以用有关轴对称的知识来解决一些与镜面成像的一些问题。 
（3）轴对称在做辅助线时的作用 
若问题的整个图形或其一部分是一个轴对称图形，可以尝试找出对称轴，从对称轴上想办法。 
①涉及一点与一直线，尝试过点作直线的垂线。 
②涉及一点及一圆，尝试将点与圆心用直线连接起来。 
③涉及两条相交直线，尝试作它们交角的平分线。 
④有两条平行直线，尝试作一条与它们垂直的直线或者作与它们等距的一条平行线。 
⑤若涉及一圆及一直线，尝试过圆心作直线的垂线。 
⑥若涉及不同心的两个圆，可尝试作它们的连心线。

用二元一次方程组巧解古代数学名题 学习二元一次方程组，能解决生活中不少实际问题，并能学到新的数学模型和消元转化思想。而有关二元一次方程组的一些名题趣题，更是来源于生活。现将二元一次方程组解应用题的步骤归纳如下：
　　（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母（如x、y）表示题目中的两个未知数；
（2）找出能够表示应用题全部含意的两个相等关系；
（3）根据两个相等关系列出代数式，从而列出两个方程并组成方程组；
（4）解这个二元一次方程组，求出未知数的值；
（5）检查所得结果的正确性及合理性；
（6）写出答案。 
人们运用方程组解决含有多个未知数的问题已有很长的历史，这个问题对于古代数学的发展起了重要的促进作用，现代高等代数中的许多内容都起源于对线性方程组的研究。中国古代数学在方程及方程组方面也有许多成果，例如，著名的“鸡兔同笼”问题就可以利用二元一次方程组解决多元问题，《九章算术》等古代数学著作中也记载了有关方程组的一些内容，它们体现了人类对客观世界中数量关系的不断探究，从中可以看出人类追求真理的长期努力，折射出科学的源远流长。在教学中，除关注在数学知识和能力方面得到提高之外，还应关注传承数学文化方面的工作，结合二元一次方程组的内容进一步挖掘其文化内涵，使学生再次受到数学文化的熏陶。对数学思想方法的领悟与运用渗透在整个初中阶段的数学学习过程中，是克服题海战术，取得优异成绩的有效策略。在列二元一次方程组解应用题中，若能灵活运用数学思想方法来求解，将能起到事半功倍的效果。本文结合例题加以分析，希望对教学有所帮助。

　　大约在一千八百年前，我国著名的算术书——《孙子算经》中有一道流传久远的名题，原文是：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉、兔各几何？”
分析：这是鸡兔同笼问题，题中有两个相等关系：一是鸡的头加上兔子的头共35个，二是鸡的脚加上兔子的脚共64个。设出鸡和兔子的个数，根据相等关系列出方程即可解得。

　解：设鸡有x只，兔子有y只，根据题意，得
x+y=352x+4y=94 解得x=23y=12
答：鸡有23只，兔子有12只。

　　《孙子算经》中的另一道名题：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少尺？
解：设长木长x尺，引绳长y尺，根据题意，得
y-x=4.5x-y=1解得x=6.5y=11
答:长木长6.5尺。

　　世界著名的算术书《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步。走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？
分析：本题可以看做是一道行程问题，题中的相等关系是两者走的步数相等。

　　解：设走路快的人走x步才能追上走路慢的人，此时走路慢的人走了y步，根据题意，得
x:y=100:60x=y+100解得x=250y=150 答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人。

　　我国民间流传的数学名题：
　　题1：只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两少7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多少银？（注：这里的斤是指市斤，1市斤=10两）
　　解：设x个人分y两银子，根据论文联盟www.LWlM.com题意，得
7x-y=7y-5x=5 解得x=6y=35 
答：有6人分35两银子。

　　题2：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一个，一人两个少两个，请问君子知道否，几个老头几个梨？
解：设有x个老头，y个梨，根据题意，得：
　　x=y-12x=y+2 解得x=3y=4 
答：有3个老头，4个梨。

　　另外：附解答应用题心得。

　　（1）读懂题意，把不相关的语言精简掉，现在应用题考的不是数学，而是语文的阅读能力。

　　（2）巧设未知数。一道应用题中可以把几个量都设为未知数，但是哪一个更为简便，要仔细斟酌。

　　（3）根据等量关系列出方程。

（4）解方程。此时可能会遇到两个未知数，而只能列出一个方程，我们就要看看是不是还有隐含条件，比如人数、物体的个数，都要是正整数，这就是隐含条件，尤其在不等式方程中要用到。还有就是分式方程要验根。

　　（5）写清单位和答话。这一步往往被忽视，其实这一步恰恰反映出你是否读懂了题目，是否知道题目要求的是什么，在考试中是要占分数的。

　　（6）勤加练习，熟能生巧。只有不断练习，才能触类旁通，举一反三。

解二元一次方程组教学反思 解二元一次方程组是在学习了一元一次方程、认识了二元一次方程（组）的基础上学习的内容，它是初中代数学习的重要内容，该部分知识的学习可以提高学习解题的能力也为学生后期学习其他奠定基础，所以解二元一次方程组是非常重要的学习内容。

解二元一次方程组主要通过代入法和加减法将二元一次方程进行“消元”，从而转化为一元方程，再利用一元一次方程的解法求解。解答该类方程组的理论依据主要是等式性质，主要运用了转化的数学思想，即将未知的知识转化为已知的知识和方法，（将二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程）。

二元一次方程组解题注意事项：
1、代入消元法解方程组时能直接带入的可直接将其中一个方程代入另一个方程进行进算；
需变形的要将系数为1的进行变形，便于计算；
系数不为1的要将系数将小的未知项进行变形，简化计算，降低计算难度。代入时不能带入原方程，否则未知项会抵消掉。

2、加减消元法解方程组有时加，有时减。主要观察含有同一未知数项的系数决定，如果在一方程组中两方程同一未知数项的系数相等则减，系数互为相反数则加；
若两方程同一未知数项的系数不同则要通过方程变形把两个方程同一未知数项的系数变相同或互为相反数，（根据等式性质二）然后相加或相减变为一元一次方程。在相加、减时，采用左边加减左边，右边加减右边的原则，如果等号左边有常数应将常数移到右边，含未知数的项移至等号左边。

3、通过消元变为一元一次方程，解答完成后应将未知数的值分别带入方程①和方程②，看能否使方程左右两边相等，若两方程左右两边都相等则解答正确。然后画一大括号将解表示出来。